14．已知函数f（x）=alnx^x+bx，（x∈（0，+∞）的图象过点（$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{e}$），且在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-e=0垂直．
（1）求a，b的值．
（2）若存在x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…），使得不等式f（x₀）=$\frac{1}{2}$x₀²-$\frac{1}{2}$tx₀≥-$\frac{3}{2}$成立，求实数t的取值范围；
（3）设函数f（x）的图象上从左至右依次存在三个点B（b，f（b）），C（c，f（c）），D（d，f（d）），且2c=b+d，求证：f（b）+f（d）-2f（c）＜（d-b）ln2．

13．如图，在三棱柱∠DOT=2∠DMB中，已知∠BMC=30°．，AB=BC=1，BB₁=2，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）设$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{C{C_1}}$（0≤λ≤1），且平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

12．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O₁为底面的中心，则O₁A与上底面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值是（　　）

A．

1

B．

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

C．

$\sqrt{2}$

D．

2$\sqrt{2}$

11．已知在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4，⊙C₂与⊙C₁关于直线1：4x+8y-31=0对称．
（1）求⊙C₂的方程；
（2）设P为平面上的点，满足下列条件：过点P存在无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与⊙C₁和⊙C₂相交，且直线l₁被⊙C₁截得的弦长与直线l₂被⊙C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

10．正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是（　　）

A．

[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]

B．

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，1]

C．

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$]

D．

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$]

9．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为（2，1），求线段MN长的取值范围．

8．设函数f（x）=2（a+1）$\sqrt{x}$，g（x）=lnx+bx（a，b∈R），直线y=x+1是函数y=f（x）图象的一条切线．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在其定义域有两个极值点．
①试求b的取值范围；
②证明：若函数y=f（x）-g（x）在其定义域内的两个极值点为x₁，x₂则$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}$≤$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{1}{2}$．

7．已知点P（1，3），Q（1，2）．设过点P的动直线与抛物线y=x²交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为C，D．记直线AB，CD的斜率分
别为k₁，k₂．
（Ⅰ）当k₁=0时，求弦AB的长；
（Ⅱ）当k₁≠2时，$\frac{{k}_{2}-2}{{k}_{1}-2}$是否为定值？若是，求出该定值．

6．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出以下命题：
①直线A₁B与B₁C所成的角为60°；
②动点M在表面上从点A到点C₁经过的最短路程为1+$\sqrt{2}$；
③若N是线段AC₁上的动点，则直线CN与平面BDC₁所成角的正弦值的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]；
④若P、Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体PQB₁D₁的体积恒为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
则上述命题中正确的有①③④．（填写所有正确命题的序号）

5．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①△DBC是等边三角形；  
②AC⊥BD；  
③三棱锥D-ABC的体积是$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．
其中正确命题的序号是（　　）

A．

①③

B．

①②

C．

②③

D．

①②③