12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求证：MN⊥x轴；
（Ⅲ）若直线mn与X轴的交点恰为F（1，0），求证：直线AB过定点．

11．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{π}{6}$，a_n+1∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
（1）求{tan²a_n}的前n项和；
（2）求正整数m，使得11sina₁•sina₂…sina_m=1．

10．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴为AB，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，M为椭圆上非A，B的点，MA，MB与x轴交于点E，F，且|OE|•|OF|=4
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P，Q为椭圆上两点，连接OP，OQ，满足k_OP•k_OQ=-$\frac{1}{4}$，求证：|OP|²+|OQ|²为定值．

9．已知点列T：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_k（x_k，y_k） （k∈N^*，k≥2）满足P₁（1，1），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{i}={x}_{i-1}+1}\\{{y}_{i}={y}_{i-1}}\end{array}\right.$与$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{i}={x}_{i-1}}\\{{y}_{i}={y}_{i-1}+1}\end{array}\right.$（i=2，3，4…k）中有且只有一个成立．
（1）写出满足k=4的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的k（k∈N^*，k≥2），不存在点列T，使得$\sum_{i=1}^{k}{x}_{i}$+$\sum_{i=1}^{k}{y}_{i}$=2^k；
（3）当k=2n-1且P_2n-1（n，n）（n∈N^*，n≥2）时，求$\sum_{i=1}^{k}{x}_{i}×\sum_{i=1}^{k}{y}_{i}$ 的最大值．

8．如图，已知椭圆C$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，点B坐标为（0，-1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．
①证明：OM•ON为定值；
②证明：A、Q、N三点共线．

7．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，点B坐标为（0，-1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上
（Ⅰ）求直线AB的方程
（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM•ON为定值．

6．已知曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

5．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂的坐标为（c，0），若b=c，且点（c，l）在椭圆Γ上．
（I）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）当k≠0时，若直线l₁：y=k（x+$\sqrt{2}$），l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x+$\sqrt{2}$）与椭圆Γ的交点分别为A，B和C，D，记四边形ACBD的面积为S₁．
①求S₁关于k的表达式；
②若直线l₃：$\sqrt{2}$kx-y+k=0，l₄：$\sqrt{2}$x+ky+1=0与圆E：x²+y²=1的交点分别为M，N和P，Q，记四边形MNPQ的面积为S₂，试判断$\frac{S_1}{S_2}$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明．

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别是F₁（-c，0），F₂（c，0），直线l：x=my-c与椭圆C交于点M，N两点，当m=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，M是椭圆C的顶点，且△MF₁F₂的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，F₂，N在直线x=4上的射影分别为E，K，D，连接MD，当m变化时，证明直线MD与NE相交于一定点，并求出该定点的坐标；
（3）设椭圆C的左顶点为A，直线AM，AN与直线x=4分别相交于点P，Q，试问：当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

3．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，过点F₁的直线l交椭圆于A、B两点，△AF₂B的周长为8．
（1）求椭圆方程．
（2）若椭圆的左、右顶点为C、D，四边形ABCD的面积为$\frac{{24\sqrt{2}}}{7}$，求直线l的方程．