15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．

14．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆右顶点到直线x+y+$\sqrt{3}$=0的距离为$\sqrt{6}$，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A为椭圆与y轴负半轴的交点，设直线l：y=x+m，是否存在实数m，使直线l与椭圆有两个不同的交点M、N，是|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点F₁（-1，0）和右焦点F₂（1，0），且AC⊥BD，椭圆的一条准线方程为x=4．
（1）求椭圆的方程；
（2）求四边形ABCD面积的取值范围．

12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）它的离心率为$\frac{1}{2}$，一个焦点是（-1，0），过直线x=4上一点引椭圆E的两条切线，切点分别是A、B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若在椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问否存在实数λ，使得|$\overrightarrow{AC}$+|$\overrightarrow{BC}$|=λ|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BC}$|成立，若成立求出λ的值，若不存在，请说明理由．

11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）它的离心率为$\frac{1}{2}$，一个焦点是（-1，0），过直线x=4上一点引椭圆E的两条切线，切点分别是A、B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若在椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标；
（Ⅲ）求证：|AC|+|BC|=$\frac{4}{3}$|AC|•|BC|（点C为直线AB恒过的定点）．

10．已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），其焦距为2．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF₁，PF₂与圆x²+y²=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．

9．设函数f（x）满足f（x）=f（4-x）（x∈R），且当x＞2时f（x）为增函数，记a=f（1.1^0.5），b=f（0.5^1.1），c=f（log_0.5$\frac{1}{16}$），则a、b、c的大小关系为（　　）

A．

c＜b＜a

B．

c＜a＜b

C．

b＜a，c

D．

a＜b＜c

8．在数列{a_n}中，设a_n+1+3a_n=0，且a₁=-1，求{a_n}的通项公式和前n项和公式．

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，直线l：$\frac{x}{12}$+$\frac{y}{8}$=1．
（I）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）已知P是l上一动点，射线OP交椭圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|²．当点P在l上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．

6．已知二次函数y=-x²+4x-3，当x＞-1时，不等式f（x）-1≤（x+1）f（b）恒成立，求实数b的最大值．