15．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l：x-y+2=0与以右焦点F为圆心，椭圆E的长半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l₀，使得直线l₀和椭圆E相切，切点在第一象限，且截圆F所得弦长为4？若存在，试求l₀的直线方程，若不存在，请说明理由．

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心为O，右顶点为A，在线段OA上任意选定一点M（m，0）（0＜m＜2），过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点．
（Ⅰ）若椭圆C的长半轴为2，离心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（ⅱ）若m=1，点N在OM的延长线上，且|OM|，|OA|，|ON|成等比数列，试证明直线PN与C相切；
（Ⅱ）试猜想过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点G（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）的切线方程，再加以证明．

13．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若A，B，C为椭圆上的三点（A，B不在坐标轴上），满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，直线OA，OB分别交直线l：x=3于M，N两点，设直线OA，OB的斜率为k₁，k₂．证明：k₁•k₂为定值，并求线段MN长度的最小值．

12．设椭圆中心在坐标原点，A（4，0），B（0，2）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

11．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

A．

$\frac{π}{6}$

B．

$\frac{π}{3}$

C．

$\frac{π}{2}$

D．

$\frac{2π}{3}$

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为2+2$\sqrt{2}$．记动点C的轨迹为曲线了．
（Ⅰ）求曲线T的方程；
（Ⅱ）已知点M（ $\sqrt{2}$，0），N（0，1），是否存在经过点（0，$\sqrt{2}$）且斜率为k的直线l与曲线T有两个不同的交点P和Q，使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{MN}$共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

9．在直角坐标系中，已知点F（0，1），直线l：y=-1，点H是直线l上任意一点，过点H垂直于l的直线交线段FH的中垂线于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）若A，B为曲线Γ上异于原点的任意两点，过A，B分别作曲线T的两条切线l₁、l₂，l₁、l₂相交于点P，且与x轴分别交于E、F，设△PEF与△OAB的面积分别为S₁、S₂．试问：是否存在实数λ使得S₁=λS₂？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的下顶点为P（0，-1），P到焦点的距离为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）设Q是椭圆上的动点，求|PQ|的最大值；
（Ⅱ）若直线l与圆O：x²+y²=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ，且满足$\frac{2}{3}$≤λ≤$\frac{3}{4}$时，求△AOB面积S的取值范围．

7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁与A₁B的交点，N是B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
 （Ⅱ）求三棱锥N-A₁BC的体积．

6．已知点F（-c，0）（c＞0）是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x²+y²=c²交于另一点P，且点P在抛物线y²=4cx上，则该双曲线的离心率的平方是$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．