5．半椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（y≥0）$和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0，如图所示，曲线C交x轴于A，B两点，交y轴负半轴于点G．椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F是它的一个焦点，点P是曲线C位于x轴上方的任意一点，且△PFG的周长是$2\sqrt{2}+2$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若M是半圆x²+y²=b²（y≤0）除A，B外任意一点，C（-b，a），D（b，a），连接MC，MD分别交AB于点E，F，求|AE|²+|BF|²的取值范围．

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}+m\sqrt{x}$（m∈R），若f（x）在x=4处的切线与直线16x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）令g（x）=kxe^x，对?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，1），总有f（x₁）≥g（x₂），求实数k的取值范围．

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆C上的动点到焦点距离的最小值为$\sqrt{2}$-1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足$\overrightarrow{OS}$$+\overrightarrow{OT}$=t$\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

2．已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$上，其中A（0，1）．
（1）若点B，C关于原点对称，且直线AB，AC的斜率乘积为$-\frac{1}{4}$，求椭圆方程；
（2）若三角形ABC是以A为直角顶点的直角三角形，该三角形的面积的最大值为$\frac{27}{8}$，求实数a的值．

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（　　）

A．

$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$

B．

$\frac{13}{6}$e6

C．

$\frac{1}{6}$e6

D．

$\frac{7}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，短轴长为4，F₁、F₂为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（x₀，y₀）是椭圆C上第一象限的点．
①若M为线段BF₁上一点，且满足$\overrightarrow{PO}$=$\sqrt{6}$•$\overrightarrow{OM}$，求直线OP的斜率；
②设点O到直线PF₁、PF₂的距离分别为d₁、d₂，求证：$\frac{{y}_{0}}{{d}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}}{{d}_{2}}$为定值，并求出该定值．

19．若x、y满足（x-2）²+（y-2）²=1，则|$\sqrt{3}$x+y-1|-2$\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-2）^{2}}$的最大值为（　　）

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

18．已知函数f（x）=2x³+（4+$\frac{m}{2}$）x²-8x-16，对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）在区间（t，3）上不单调，则实数m的取值范围是（　　）

A．

（-$\frac{70}{3}$，+∞）

B．

（16，+∞）

C．

（-$\frac{70}{3}$，16）

D．

（-$\frac{70}{4}$，-16）

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k₁、k₂，满足4k=k₁+k₂，试问：当k变化时，m²是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

16．设F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若点P（$\sqrt{3}$，2）在椭圆E上，且c=$\sqrt{3}$，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知椭圆E的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，若过点F₁（-c，0）的直线交椭圆E于A，B两点，且|AF₁|=3|F₁B|．证明：AB⊥AF₂．