13．如图.椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率e=$\frac{3}{5}$.左焦点为F.A.B.C为其三个顶点.直线CF与AB交于点D.若△ADC——青夏教育精英家教网—

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13．

如图，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{3}{5}$，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于点D，若△ADC的面积为15．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在分别以AD，AC为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．

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12．在三角形ABC中，D为底边BC的中点，M为AD上的任一点，过M点任作一直线l分别交边AB、AC与E，F（E，F不与端点重合），且$\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=n\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AD}$，则m，n，k满足的关系是（　　）

A．

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{k}$

B．

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{k}{2}$

C．

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{k}$

D．

m+n=k

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11．若在平面直角坐标系中，已知动点M和两个定点F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），且|MF₁|+|MF₂|=4
（1）求动点M轨迹C的方程；
（2）设O为坐标原点，若点E在轨迹C上，点F在直线y=-2上，且OE⊥OF，试判断直线EF与圆x²+y²=2的位置关系，并说明理由．

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10．（1）求$\frac{1}{{C}_{n}^{3}}$-$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$＜$\frac{1}{{C}_{n}^{12}}$的解集．
（2）设[x]表示不超过x的最大整数.${C}_{n}^{x}$=$\frac{n（n-1）…（n-[x]+1）}{x（x-1）…（x-[x]+1）}$，x∈[1，+∞）．若x∈[$\frac{3}{2}$，3]，求C${\;}_{8}^{x}$值域．

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9．设P是圆x²+y²=a²（a＞0）上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且$\overrightarrow{MD}=\frac{b}{a}\overrightarrow{PD}$（a＞b＞0）．
（Ⅰ）求证：点M的轨迹Γ是椭圆；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中椭圆Γ的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，C为线段AB的中点，当三角形CFO（O为坐标原点）的面积最大时，求直线l的方程．

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8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，当点M的坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）时，l的方程为$\sqrt{3}$x+2y-4=0．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率为k，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H，（O为坐标原点），当|OH|=$\frac{4}{5}$|OM|时，求k的值．

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6．已知椭圆 C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，为坐标原点），当点M坐标为$（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$时，l的方程为$\sqrt{3}$x+2y-4=0．
（I）求椭圆C方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率为K，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），求∠HOM最大时k的值．

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5．已知点H（0，-2），椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F是椭圆E的右焦点，直线HF的斜率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点A为椭圆E的右顶点，过B（1，0）作直线l与椭圆E相交于S，T两点，直线AS，AT与直线x=3分别交于不同的两点M，N，求|MN|的取值范围．

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4．已知数列{a_n}中，1＜a₁＜2，a_n+1=1+a_n-$\frac{1}{2}$a_n²（n∈N^*）．求证：
（1）a₃∈（$\frac{11}{8}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）当n≥3时，|a_n-$\sqrt{2}$|＜$\frac{1}{{2}^{n}}$．

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