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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别在棱AA₁和CC₁上（含线段端点）．
（1）如果AE=C₁F，试证明B，E，D₁，F四点共面；
（2）在（1）的条件下，是否存在一点E，使得直线A₁B和平面BFE所成角等于

π

6

？如果存在，确定E的位置；如果不存在，试说明理由．

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过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，证明：

AT2

AN2

=

PT•PS

NT•NS

．

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设数列{a_n}是一个无穷数列，记Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差数列，证明：对于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）对任意的n∈N^*，若T_n=0，证明：a_n是等差数列；
（3）若T_n=0，且a₁=0，a₂=1，数列b_n满足bn=2an，由b_n构成一个新数列3，b₂，b₃，…，设这个新数列的前n项和为S_n，若S_n可以写成a^b，（a，b∈N，a＞1，b＞1），则称S_n为“好和”．问S₁，S₂，S₃，…，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由．

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已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且过点P(2，

2

)，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为

4 5

5

．
（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；
（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有

MN

NQ

为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．

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如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求

S1

S2

的最小值．

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在菱形ABCD中，∠A=60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G．
（1）证明：直线BG∥平面FDE；
（2）判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．