在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足

OC

=(m

OA

+n

OB

)，其中m，n∈R且m-2n=1．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：

1

a2

-

1

b2

为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于

3

，求双曲线实轴长的取值范围．

已知数列{a_n} 是公差为d（d≠0）的等差数列，S_n为其前n项和．
（1）若a₂，a₃，a₆依次成等比数列，求其公比q；
（2）若

OPn

=(n，

Sn

n

)(n∈N*)，求证：对任意的m，n∈N*，向量

PmPn

与向量

b

=(2，d)共线；
（3）若a₁=1，d=

1

2

，

OQn

=(

an

n

，

Sn

n2

)(n∈N*)，问是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的n∈N*，点Q_n都在这个圆内或圆周上．

在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．
现在老王决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得ω=

π

72

．
（1）请你帮老王算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；
（2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
（1）该考生得分为40分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

下面给出的四个命题中：
①对任意的n∈N*，点P_n（n，a_n）都在直线y=2x+1上是数列a_n为等差数列的充分不必要条件；
②“m=-2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）与坐标轴有4个交点A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），则有x₁x₂-y₁y₂=0；
④将函数y=cos2x的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数y=sin(2x-

π

6

)的图象．
其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．

设(5x-

x

)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为．

A、 π 6

B、 π 3

C、 6 6 π

D、 3 3 π

A、(2， 29 17 )

B、（0，1）

C、（0，4）

D、（1，+∞）

A、24

B、25

C、4

D、7