在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是（　　）

曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（　　）

（2013•镇江一模）已知函数f（x）=ln（2-x）+ax在区间（0，1）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若数列{a_n}满足a₁∈（0，1），a_n+1=ln（2-a_n）+a_n，n∈N^*，证明0＜a_n＜a_n+1＜1．

（2013•镇江一模）斜率为1的直线与抛物线y²=2x交于不同两点A、B，求线段AB中点M的轨迹方程．
．

求圆ρ=3cosθ被直线

x=2+2t y=1+4t

（t是参数）截得的弦长．

（2013•镇江一模）已知函数f(x)=

x2

x2-x+1

，对一切正整数n，数列{a_n}定义如下：a₁=

1

2

，且a_n+1=f（a_n），前n项和为S_n．
（1）求函数f（x）的单调区间，并求值域；
（2）证明{x|f（x）=x}={x|f（f（x））=x}；
（3）对一切正整数n，证明：①a_n+1＜a_n；②S_n＜1．

（2013•镇江一模）已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为

3

2

．不过A点的动直线y=

1

2

x+m交椭圆O于P，Q两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明P，Q两点的横坐标的平方和为定值；
（3）过点 A，P，Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标．

（2013•镇江一模）一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a₀，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的

1

2

分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的

1

3

分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的

1

n+1

分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为a_n．
（1）当k=3，a₀=12时，分别求a₁，a₂，a₃；
（2）请用a_n-1表示a_n；令b_n=（n+1）a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a₀，使得数列{a_n}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a₀，如果不存在，请说明理由．