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如图，A为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，AF₁=3AF₂．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设

AF1

=λ1

F1B

 ，   

AF2

=λ2

F2C

，证明：当A点在椭圆上运动时，λ₁+λ₂是定值．

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如图所示，多面体ABCDS中，四边形ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，SD=

3

AD，M、N分别为AB、CD中点．
（1）求证：SM⊥AN；
（2）求二面角A-SC-D的余弦值．

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已知正方形ABCD的边长为2，在正方形及其内部任选一点P（在正方形及其内部点的选取都是等可能的），作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，矩形PMAN的面积为S．
（1）请建立适当的坐标系，设P（x，y），写出x，y满足的条件，并作出满足S≤1的P点的区域；
（2）求S≤1的概率．

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如图，过点（0，a³）（0＜a＜2）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A，B两点，AD，BC垂直于直线y=-8，垂足分别为D、C，求矩形ABCD面积的最大值．

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已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），且f（4）=f（-2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则在平面直角坐标系aOb中，平面区域

a≥0 b≥0 f(2a+b)＜1

的面积是

4

4

．

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