选修4-2:矩阵与变换已知α=.2 1 .为矩阵A=.1a-14.属于λ的一个特征向量.求实数a.λ的值及A2．——青夏教育精英家教网—

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选修4-2：矩阵与变换
已知α=

2
1

为矩阵A=

1	a
-1	4

属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A²．

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设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，数列{b_n}是公差为d的等差数列，n∈N^*．
（1）求d的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：(a1a2…an)•(S1S2…Sn)＜

22n+1

(n+1)(n+2)

．

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在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB＝CF：FA＝CP：PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）

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如图，设点P是椭圆E：

+y2=1上的任意一点（异于左，右顶点A，B）．
（1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；
（2）设直线PA，PB分别交直线l：x=

与点M，N，求证：PN⊥BM．

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如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？

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