在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．
求证：∠DAP=∠BAP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a＞0，b＞0，若矩阵A=

.

a 0 0 b

.

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1
C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦长为2

3

求实数a的值．
D．选修4-5：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a²+4b²+

1

ab

≥4．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为

1

2

，右准线为l：x=4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若

AM

=

MP

，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；
（3）连接PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．

已知直线x=a(0＜a＜

π

2

)与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=

1

5

，则线段MN的中点纵坐标为．

已知α，β为平面，m，n为直线，下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；    ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的有．（填写所有正确命题的序号）

已知函数f(x)=

ex-k，   x≤0 (1-k)x+k，x＞0

是R上的增函数，则实数k的取值范围是．

在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y²=2x上的点P到坐标原点O的距离为

15

，则线段PF的长为．

集合A是由适合以下性质的函数组成：对于任意x≥0，f（x）∈[-2，4]，且f（x）在（0，+∞） 上是增函数．
（1）试判断f1(x)=

x

-2及f2(x)=4-6•(

1

2

)x是否在集合A中，并说明理由；
（2）若定义：对定义域中的任意一个x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，则称这个函数为凸函数．对于（1）中你认为在集合A中的函数f（x）是凸函数吗？试证明你的结论．

已知a=

5 -1

2

，函数f（x）=a^x，若实数m，n满足f（m）＜f（n），则m、n的大小关系是．

某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：
（1）写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）用伪代码表示计算10年以后该城市人口总数的算法；
（3）用流程图表示计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人的算法．

试分别用辗转相除法和更相减损术求840与1764、440与556的最大公约数．