（2013•顺义区二模）已知函数f（x）=2ae^x+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l₁，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l₂，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为两函数在x₀处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．

（2013•顺义区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点P在椭圆上，且△PF₁F₂的周长为6．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求

12

13

|AB|2+

13

16

d2的最大值．

（2013•顺义区二模）已知函数f(x)=

ex

1+ax2

，其中a为正实数，e=2.718…．
（I）若x=

1

2

是y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（II）求f（x）的单调区间．

（2013•顺义区二模）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．
（I）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；
（II）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

（2013•顺义区二模）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD的中点，F为AA₁的中点．
（I）求证：AD₁⊥平面A₁B₁E；
（II）求证：DF∥平面AB₁E；
（III）若二面角A-B₁E-A₁的大小为45°，求AB的长．

（2013•顺义区二模）已知函数f(x)=

( 3 cosx-sinx)sin2x

2cosx

+

1

2

．
（Ⅰ）求f(

π

3

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

（2013•顺义区二模）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠

π

2

时，(x-

π

2

)f′(x)＜0．则函数y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为．