（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）
（I ）求g（x）=

f(x+1)

x+1

-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；
（II ）任取两个不等的正数x₁，x₂，且x₁＜x₂，若存在x₀＞0使f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

成立，求证：x₁＜x₀＜x₂
（III）己知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+

1

2n

）a_n+

1

n2

（n∈N₊），求证：a_n＜e

11

4

（e为自然对数的底数）．

（2013•绵阳二模）动点M（x，y）与定点F（l，0）的距离和它到直线l：x=4的距离之比是常数

1

2

，O为坐标原点．
（I ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？
（II） 已知圆C的圆心在原点，半径长为

2

是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A，B两点，且使等式

AP

•

PB

=

OP

2成立？若存在，求 出m的方程；若不存在，请说明理由．

（2013•绵阳二模）已知各项均不为零的数列{a_n}的首项a₁=

3

4

，2a_n+1a_n=ka_n-a_n+1n∈N₊，k是不等于1的正常数）．
（I ）试问数列{

1

an

-

2

k-1

}是否成等比数列，请说明理由；
（II）当k=3时，比较a_n与

3n+4

3n+5

的大小，请写出推理过程．

（2013•绵阳二模）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为

1

3

，乙每次投中的概率为

1

4

（I）求甲投篮三次恰好得三分的概率；
（II）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮 得分总和的差，求随机变量X的分布列．

（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ） A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若f（

A

8

）=

6

2

，

AB

•

AC

=12，a=2

7

，且b＜c，求 b、c 的长．

（2013•绵阳二模）已知函数f（x），若对给定的三角形ABC，它的三边的长a、b、c均在函数f（x）的定义域内，都有f（a）、f（b）、f（c）也为某三角形的三边的长，则称f（x）是△ABC的“三角形函数”．下面给出四个命题：
①函数f₁（x）=

x

，x∈（0，+∞）是任意三角形的“三角形函数”；
②若定义在（O，+∞）上的周期函数f₂（x）的值域也是（0，+∞），则f₂（x）是任意三角形的“三角形函数”；
③若函数f₃（x）=x³-3x+m在区间（

2

3

，

4

3

）上是某三角形的“三角形函数”，则m的取值范围是（

62

27

，+∞）
④若a、b、c是锐角△ABC的三边长，且a、b、c∈N₊，则f₄（x）=x²+lnx（x＞0）是△ABC的“三角形函数”．
以上命题正确的有（写出所有正确命题的序号）

（2013•绵阳二模）（2x+1）（1-

1

x

）⁵的展开式的常数项是．（填写具 体数字）

（2013•绵阳二模）如图表示的程序所输出的结果是．

（2013•绵阳二模）《人再冏途之泰冏》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽 取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法 抽取釆访对象，则抽取的女观众人数为人．

（2013•绵阳二模）一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面 的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（　　）