选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵

1 2 2 a

的属于特征值b的一个特征向量为

1 1

，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线

x=2pt2 y=2pt

（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥9．

设首项为1的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{an2}的前n项和为T_n，且Tn=

4-(Sn-p)2

3

，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{a_n}为等比数列；
（3）证明：“数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1，且y=2”．

已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且f'（x）=0的两根为±1．若f（x）的极大值与极小值之和为0，f（-2）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数在开区间（m-9，9-m）上存在最大值与最小值，求实数m的取值范围．
（3）设函数f（x）=x•g（x），正实数a，b，c满足ag（b）=bg（c）=cg（a）＞0，证明：a=b=c．

某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）
（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？
（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）
（参考数据：

807

119

≈6.782，

95

14

≈6.786，

331

99

≈3.343，

1013.5

301

≈3.367）

在平面直角坐标系xOy中，设A、B是双曲线x2-

y2

2

=1上的两点，M（1，2）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点．
（1）求直线AB与CD的方程；
（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．

如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′=a（0＜a＜

3

）．
（1）若a=

3

2

，求二面角C-BD-C′的大小；
（2）当a变化时，线段CC′上是否总存在一点E，使得AC′∥平面BED？请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆

x2

a2

+y2=1(a＞1)上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为

27

8

，则实数a的值为．

在平面直角坐标系xOy中，过点A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）分别作x轴的垂线与抛物线x²=2y分别交于点A1′、A2′，直线A1′A2′与 x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁、x₂确定了x₃．同样，可由x₂、x₃确定x₄，…，若x₁=2，x₂=3，则x₅=．

根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》（GB19522-2004）中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：

血液酒精含量（单位：mg/100ml）	0～20	20～40	40～60	60～80	80～100
人数	180	11	5	2	2

血液酒精含量（单位：mg/100ml）根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车”发生的频率等于．