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如图，在四梭锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1．点M线段PD的中点．
（I）若PA=2，证明：平面ABM⊥平面PCD；
（II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．

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一个多面体的直观图和三视图如图所示：
（I）求证：PA⊥BD；
（II）连接AC、BD交于点O，在线段PD上是否存在一点Q，使直线OQ与平面ABCD所成的角为30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，说明理由．

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如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为线段A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小．

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如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．
（I）求证：MN∥平面BCD；
（II）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（III）若AB=1，BC=

3

，求直线AC与平面BCD所成的角．

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如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=

2

，∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE，使得平面B′AE⊥平面AECD．连接B′D，P是B′D上的点．
（I）当B′P=PD时，求证CP⊥平面AB′D；
（Ⅱ）当B′P=2PD时，求二面角P-AC-D的余弦值．

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四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2

2

，则该球表面积为

12π

12π

．

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