关于x的方程3sinx+4cosx=2m-1有解，则实数m的取值范围是．

函数y=

6+x-x2

的递增区间为．

已知向量

OA

=（5，12），将

OA

绕原点按逆时针方向旋转90°得到

OB

，则与

OB

同向的单位向量是．

与圆（x-3）²+（y+1）²=2相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有条．

抛物线y=-

1

2

x2的焦点坐标是．

若(3x-

1

x

)n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含 x³的项的系数为．（用数字作答）

（2012•衡阳模拟）已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_n是首项为10，公差为-2的等差数列；a_n+1，a_n+2，…，a_2n是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列（m≥3，m∈N^*），并对任意n∈N^*，均有a_n+2n=a_n成立．
（1）当m=12时，求a₂₀₁₂；
（2）若a₅₂=

1

128

，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S_128m+3≥2012成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

（2012•衡阳模拟）已知椭圆C的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），离心率e=

2

2

，上焦点到直线y=

a2

c

的距离为

2

2

，直线l与y轴交于一点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B且

AP

=t

PB

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若

OA

+t

OB

=4

OP

，求m的取值范围•

（2012•衡阳模拟）某广场二雕塑造型结构如图所示，最上层是呈水平状态的圆环且圆心为O，其半径为2m，通过金厲杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n支撑在地面B处（BC垂直于水平面）．A₁，A₂，A₃，…，A_n是圆环上的n等分点，圆环所在的水平面距地面1Om，设金属杆CA₁，CA₂，…，CA_n所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ（圓环及金厲杆均不计粗细）
（1）当θ为60°且n=3时，求金厲杆BC，CA₁，CA₂，CA₃的总长？
（2）当θ变化，n一定时，为美观与安全起见，要求金属杆BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的总长最短，此时θ的正弦值是多少？并由此说明n越大，C点的位置将会上移还是下移．