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（2012•辽宁）如图，已知椭圆C₀：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C₁：x2+y2=

t

2 1

，b＜t1＜a．点A₁，A₂分别为C₀的左右顶点，C₁与C₀相交于A，B，C，D四点．
（I）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（II）设动圆C₂：x2+y2=

t

2 2

与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：

t

2 1

+

t

2 2

为定值．

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（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（I）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

	非体育迷	体育迷	合计
男
女		10	55
合计

（II）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）

P（ K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

．

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（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（　　）

A．-1

B． 2 3

C． 3 2

D．4

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我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法--“算两次”（G．Fubini原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高…
请结合二项式定理，利用等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ（n∈N^*）
证明：
（1）

n

r=0

(

C

r n

)2=

C

n 2n

；  
（2）

m

r=0

(

C

r n

C

m-r n

)=

C

m 2n

．

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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|

AB

|=1，

A1P

=λ

A1C

(0＜λ＜1)．
（1）若λ=

1

2

，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

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（几何证明选讲）如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CA为半径的圆交BC的延长线于点E、F，且点B为线段CG的中点．求证：GE•GF=2BE•BF．