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选做题A．平面几何选讲
过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，
证明：

AT2

AN2

=

PT•PS

NT•NS

．
B．矩阵与变换（10分）
已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．
C．坐标系与参数方程
已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线ρ=12cos(θ-

π

6

)上的动点，试求线段AB长的最大值．D．不等式选讲
已知m，n是正数，证明：

m3

n

+

n3

m

≥m²+n²．

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（2012•韶关二模）如图（1）在等腰△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，现将△ACD沿CD翻折，使得平面ACD⊥平面BCD．（如图（2））
（1）求证：AB∥平面DEF；
（2）求证：BD⊥AC；
（3）设三棱锥A-BCD的体积为V₁、多面体ABFED的体积为V₂，求V₁：V₂的值．

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（2012•韶关二模）下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为

a+b

2

；
②从总体中抽取的样本(x1，y1)，(x2， y2)，…，(xn，yn)，若记

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi，则回归直线y=bx+a必过点（

.

x

，

.

y

）
③10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
④绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的频率．
其中正确的序号是

②④

②④

．

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（2012•韶关二模）执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围（　　）

A． 7 8 ＜P≤ 15 16

B．P＞ 15 16

C． 7 8 ≤P＜ 15 16

D． 3 4 ＜P≤ 7 8

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（2011•天津模拟）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），若四边形DMEN的面积为

27

7

，求DE的直线方程．

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（2011•天津模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）证明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（3）若点P为B₁C₁的中点，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．