设函数

(1)画出函数的图象;

(2)在x=0,x=3处函数f(x)是否连续;

(3)求函数f(x)的连续区间.

如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=,AB=a,在△ABC内作一系列的正方形,求所有这些正方形的面积和S.

求下列极限：

(1)

(2)

一片小树林有4 000棵树,每年将砍伐20%的树木并种植1 000棵树,设n年后所剩树木的棵树为a_n,

(1)计算a₁、a₂、a₃的值;

(2)请猜想数列{a_n}的通项公式,并加以证明;

(3)试判断经过若干年后,树木的棵数能否大体稳定在某一固定值上?并说明理由.

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家.他的数学著作颇多,他编著的数学书共5种21卷,在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律.古今中外,许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过,并将研究结果应用于其他工作.下图是一个11阶的杨辉三角:

 

试回答:(其中第(1)&(5)小题只需直接给出最后的结果,无需求解过程)

(1)记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为a_ij,则数列{a_ij}的通项公式为          ,

n阶杨辉三角中共有           个数;

(2)第k行各数的和是;

(3)n阶杨辉三角的所有数的和是;

(4)将第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除,则整数p一定为(   )

A.奇数                B.质数              C.非偶数                D.合数

(6)在第3斜列中,前5个数依次为1、3、6、10、15;第4斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般地有这样的结论:

第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.

试用含有m、k(m、k∈N*)的数学公式表示上述结论并证明其正确性.

数学公式为                   .

证明:                        .

用数学归纳法证明1+≤1+++…+≤+n(n∈N*).

已知数列,,,…,,…,计算S₁,S₂,S₃,S₄,根据计算结果,猜想S_n的表达式,并用数学归纳法进行证明.

求证:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a-1整除(n∈N*).

用数学归纳法证明2²+4²+6²+…+(2n)²=n(n+1)(2n+1).

观察下列式子:1+＜,1++＜,1+++＜,…,则可以猜想其结论为             .