已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．

已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；

（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是．

（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点  的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当，且时，求.

对于各数互不相等的整数数组 (是不小于3的正整数)，对于任意的，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于          ；若数组中的逆序数为，则数组中的逆序数为         .

如下图，在圆内接四边形中, 对角线相交于点．已知，，，则         ，的长是         ．

执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为           ．

如右图，在三角形中，，分别为，的中 点，为上的点，且. 若 ，则实数          ，实数          .

在二项式的展开式中，第四项的系数是           .