如图，在单位正方体中,设是△内任一点（不包括边界）， 定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立，则正实数的最小值为   ▲   ．

本小题满分12分

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=。

   （I）求证：A₁B⊥B₁C；

   （II）求二面角A₁—B₁C—B的大小。

（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，侧棱长为t，点D₁关于点D的对称点为D₂，点C₁关于点C的对称点为C₂，点E、F分别在线段AD和BC上，且DE=BF=(0<<1).

(1)若，t=1，求直线D₂F与直线B₁C所成角。

（2）是否存在实数和t，使得平面EFD₂⊥平面A₁B₁CD？若存在，求出和t；若不存在，说明理由.

（3）若t=1，<<1,设直线C₂F与平面EFD₂所成角为，求证：..

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB₁＝3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．

（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

（2）设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

（本小题满分12分）

直三棱柱A1B1C1—ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点。

（1）求点B到平面A1C1CA的距离；

   （2）求二面角B­—A1D—A的余弦值；

   （3）在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A1BD，若存在确定其位置，若不存在，说明理由.

（本题满分16分，其中第1小题9分，第2小题7分）

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为（），动点在侧棱上移动.设与侧面所成的角为.

（1）当时，求点到平面的距离的取值范围；

（2）当时，求向量与夹角的大小.

.

已知E，F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC和CD的中点，求：

   （1）A₁D与EF所成角的大小；

   （2）A₁F与平面B₁EB所成角；

   （3）二面角C-D₁B₁-B的大小．

（本小题满分10分）

已知正三棱柱的各条棱长都相等，为上的点，,且.

求的值；

求异面直线与所成角的余弦值。

（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．

（I）证明：；

（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

（本小题满分14分）

   （1）如图，对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

   （2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积．