如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂.

(ⅰ)证明：＝2.

(ⅱ)问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

如图,在直角坐标系xOy中,△A_iB_iA_i+1 (i=1,2,…,n,…)为正三角形,,|A_iA_i+1|=2i－1(i=1,2,3,…,n,…).

(1)求证:点B₁,B₂,…,B_n,…在同一条抛物线上,并求该抛物线C的方程;

(2)设直线l过坐标原点O,点B₁关于l的对称点B′在y轴上,求直线l的方程;

(3)直线m过(1)中抛物线C的焦点F并交C于M、N,若(λ＞0),抛物线C的准线n与x轴交于E,求证:与的夹角为定值.

过抛物线y²=2px(p＞0)的对称轴上的定点M(m,0)(m＞0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点.

(1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值;

(2)若点N是定直线l:x=－m上的任意一点,分别记直线AN,MN,BN的斜率为k₁,k₂,k₃,试探求k₁,k₂,k₃之间的关系,并给出证明.

设上的两点，已知向量，,若m·n=0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.

  (Ⅰ)求椭圆的方程；

 （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

是经过椭圆 右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦，求证：：是定值

已知定点在抛物线：（＞0）上，动点且．求证：弦必过一定点．

已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(－1,0),(1,0).

(1)求椭圆C的方程;

(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.

过抛物线（＞0）上一定点＞0），作两条直线分别交抛物线于，，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数．

过抛物线y²=2px(p＞0)的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且△OAB(O为坐标原点)的面积为,则m⁶+m⁴=__________.

已知F₁、F₂是双曲线-y²=1的两个焦点,P在双曲线上,当△F₁PF₂的面积为1时,·的值为________________.