已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且。

（Ⅰ）指出函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；

（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。

       已知圆的方程为，点是坐标原点。直线与圆交于两点。

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设是线段上的点，且。请将表示为的函数。

       如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点。

（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积。（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）

       某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

甲的频数统计表（部分）                             乙的频数统计表（部分）

       当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。

       在中，角的对边分别为，且。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影。

在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和。

在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是_______。

设，，则的值是____________。

已知函数在时取得最小值，则____________。

如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________。