已知命题方程的两实数根的符号相反；命题，使，若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.

某公司租赁甲、乙两种设备生产、两类产品，甲种设备每天能生产类产品件和类产品件，乙种设备每天能生产类产品件和类产品件.已知设备甲每天的租赁费为元，设备乙每天的租赁费为元，现该公司至少要生产类产品件，类产品件，所需租赁费最少为____元.

直线与曲线相交，截得的弦长为_           

如图所示，过⊙外一点作一条直线与⊙交于、两点，切⊙于，弦过的中点．已知，，则 　　　 .

已知中，三条边所对的角分别为、、，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值.

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，.

（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．

已知数列、中，，且当时，，.记的阶乘.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列为等差数列；

（3）若，求的前 项和.

如图，长方体中，为中点.

（1）求证：；

（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；

（3）若二面角的大小为，求的长.

设函数.

（1）研究函数的极值点；

（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；

（3）证明：.

已知点（，是常数），且动点到轴的距离比到点的距离小.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）（i）已知点，若曲线上存在不同两点、满足，求实数的取值范围；

（ii）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.