科目： 来源：2012-2013学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°．
（1）求AC₁的长；
（2）求BD₁与AC夹角的余弦值．

科目： 来源：2012-2013学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1米，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心（如图）．由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4厘米．据此推算，到2050年底该地区将有10千米²水面面积．请你推算，到2100年底该地区将有多大的水面面积？（提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为s=πr²）

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如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
（注：若△ABC的三点坐标分别为A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），则该三角形的重心坐标为：．）

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如图，已知抛物线C：y²=4x，过点P的直线l与抛物线C交点A、B两点，且点P为弦AB的中点．
（ I）求直线l的方程；
（ II）若过点P斜率为-2的直线m与抛物线C交点A₁、B₁两点，求证：PA•PB=PA₁•PB₁；
（ III）过线段AB上任意一点P₁（不含端点A、B）分别做斜率为k₁、k₂（k₁≠k₂）的直线l₁，l₂，若l₁交抛物线C于A₁、B₁两点，l₂交抛物线C于A₂，B₂两点，且：P₁A₁•P₁B₁=P₁A₂•P₁B₂，试求k₁+k₂的值．

科目： 来源：2012-2013学年福建省莆田二中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

已知A（-1，-2，1），B（1，2，-1），O为坐标原点，则向量与的夹角是（ ）
A．0
B．
C．
D．π

科目： 来源：2012-2013学年福建省莆田二中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

椭圆方程为4x²+y²=1，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

科目： 来源：2012-2013学年福建省莆田二中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

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已知，，则函数f（x）=的单调递减区间是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，+∞）
C．（-∞，-1）和（0，1）
D．（-∞，0）和（0，1）

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设椭圆的两个焦点分别为F₁、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

科目： 来源：2012-2013学年福建省莆田二中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．