科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB'交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

已知函数f（x）=-ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立，求实数a的取值范围．

科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是的中点．求证：
（1）AB•AC=AE•AD；
（2）∠FAE=∠FAD．

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选修4-2：矩阵与变换
已知曲线C&：y²=2x，在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C₁，C₁在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C₂，求曲线C₂的方程．

科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=2，直线l的参数方程为试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．

科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

选修4-5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，且2a+b=1，求的最大值．

科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

如图，已知定点R（0，-3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且．
（1）求动点M的轨迹C₁；
（2）圆C₂：x²+（y-1）²=1，过点（0，1）的直线l依次交C₁于A，D两点（从左到右），交C₂于B，C两点（从左到右），求证：为定值．

科目： 来源：2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

已知数列{a_n}满足：．
（1）若a=-1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=3，试证明：对?n∈N^*，a_n是4的倍数．