Question

一质量m=2kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，试求：（g=10m/s²）
（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；
（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点；
（3）小球从h'=2m处由静止滑下时，脱离圆环的位置和圆心的连线与竖直方向夹角的余弦．

Answer 1

【答案】分析：（1）小球在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，运用机械能守恒定律求出小球滑至圆环顶点时的速度，再根据牛顿第二定律求出轨道对球的弹力．
（2）小球通过最高点的临界情况是弹力为零，根据重力提供向心力求出最高点的临界速度，再根据机械能守恒定律求出小球初位置的高度．
（3）由于h'＜h₁，故球在还没有到达顶端前即与环脱离，脱离的瞬间，重力沿半径方向上的合力提供向心力，结合牛顿第二定律和机械能守恒定律求出脱离圆环的位置和圆心的连线与竖直方向夹角的余弦．
解答：解：（1）设小球滑至环顶时的速度为υ₁，所受环的压力为N．
小球运动过程中机械能守恒：①
在顶点由圆周运动的知识有：②
联立①②解得：（
代入数值解得：
由牛顿第三定律知小球对环的压力大小为：N'=N=40N
（2）当圆环对小球的压力为零时，仅由重力充当向心力，对应的速度υ₂为越过圆环最高点的最小速度，对应的高度h₁为最低高度，由机械能守恒定律及圆周运动知识有：③
④
联立③④解得：
（3）由于h'＜h₁，故球在还没有到达顶端前即与环脱离，设脱离圆环时的位置半径与竖直方向的夹角为α，选轨道最低点为零势点，由机械能守恒定律及圆周运动知识有：⑤
⑥
联立⑤⑥解得：
答：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力为40N．
（2）小球至少应从2.5m高处由静止滑下才能越过圆环最高点．
（3）小球从h'=2m处由静止滑下时，脱离圆环的位置和圆心的连线与竖直方向夹角的余弦为．
点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键抓住小球运动的临界状态，运用牛顿第二定律和机械能守恒定律进行求解．