Question

15．如图所示，足够长的平行光滑金属导轨竖直放置，轨道间距为l，其上端接一阻值恒为R的灯泡L．在水平虚线L₁、L₂间有垂直导轨平面的匀强磁场，磁场区域的宽度为d，导体棒a的质量为2m、电阻为R；导体棒b的质量为m、电阻为2R，与导轨始终保持良好接触，它们分别从图中M、N处同时由静止开始沿导轨下滑，且都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿过磁场时a正好进入磁场．设重力加速度为g，不计a、b棒之间的相互作用，导体棒始终与导轨垂直．求：
（1）导体棒a、b在磁场中的运动速度之比．
（2）求M点距离L₁的高度．
（3）若取走导体棒b，将a固定在L₂处，使磁感应强度从B₀随时间均匀减小，设灯泡额定电压为U，为保证灯泡不会烧坏且有电流通过，试求磁感应强度减小到零的最短时间．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力，由平衡条件求出导体棒的速度，然后求出导体棒速度之比．
（2）导体棒做匀变速直线运动，应用匀变速直线运动的规律求出高度．
（3）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，然后求出最短时间．

解答 解：（1）当b在磁场中匀速运动时速度大小为v_b，
此时，感应电动势：E₁=Blv_b，
回路中总电阻：R₁=$\frac{5}{2}$R，
b中的电流：I_b=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}}$，
b受到的安培力：F=BI_bl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{b}}{{R}_{1}}$，
b匀速运动，处于平衡状态，
由平衡条件得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{b}}{{R}_{1}}$=mg，
当a棒切割磁感线时，回路中总电阻：R₂=$\frac{5}{3}$R，
同理可得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{a}}{{R}_{2}}$=2mg，
由以上各式得：$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}$=$\frac{4}{3}$；
（2）设b在磁场中运动的时间为t，当b进入磁场时，a、b速度大小均为v_b；
当a进入磁场时，a速度大小为v_a，可得：v_a=v_b+gt，
B在磁场中做匀速运动：d=v_bt，
由（1）可知：$\frac{{v}_{a}}{{v}_{b}}$=$\frac{4}{3}$，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v_a²=2gL₁，解得：L₁=$\frac{8}{3}$d；
（3）经时间t，磁感应强度从B₀均匀减小到零
感应电动势：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$ld=$\frac{{B}_{0}}{t}$ld，
感应电流：I=$\frac{E}{2R}$，
联立上式得：I=$\frac{{B}_{0}ld}{2Rt}$，
保证灯不烧坏，电流的最大植为：I_m=$\frac{U}{R}$，
当电流最大时对应时间最短：t_min=$\frac{{B}_{0}ld}{2R{I}_{m}}$=$\frac{{B}_{0}ld}{2U}$；
答：（1）导体棒a、b在磁场中的运动速度之比为4：3．
（2）求M点距离L₁的高度为$\frac{8}{3}$d．
（3）磁感应强度减小到零的最短时间为$\frac{{B}_{0}ld}{2U}$．

点评 本题是电磁感应、电路与力学相结合的综合题，解决本题的关键知道导体棒做匀速直线运动时，重力和安培力平衡，本题的难点在于通过a、b棒的速度关系以及a、b距离虚线L₁的高度比求出a、b距离虚线L₁的高度．