Question

7．我又突发奇想，如图把子弹换成多个小木块，把木块换成长木板，如图所示，一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1、2、3、…、n的木块，所以木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为μ，木板的质量与所有木块的总质量相等．在t=0时刻木板静止，第1、2、3、…、n号木块的初速度分别为 v₀、2 v₀、3 v₀、…、n v₀，方向都向右，最终所有木块与木板以共同速度匀速运动，试求：
（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度 v_n；
（2）从t=0到所有木块与木板共同匀速运动经历的时间t；
（3）第（n-1）号木块在整个运动过程中的最小速度 v_n-1．

Answer 1

分析 （1）A、B、C三个物体组成的系统，所受合外力为零，系统的动量守恒，根据动量守恒定律求出最终A、B、C的共同速度．
（2）根据动量守恒定律和动量定理研究，求出A与C刚相对静止时B的速度．
（3）对系统应用动量守恒定律，对最后两个木块应用动量定理可以求出第n-1个木块的最小速度．

解答 解：（1）木块与木板组成的系统动量守恒，以木块的初速度方向为正方向，对系统，由动量守恒定律得：
   m（v₀+2 v₀+3 v₀+…+n v₀）=2nm v_n
解得：$v_n=\frac{{（{n+1}）v_0}}{4}$；
（2）第n号木块始终做匀减速运动，所以对第n号木块，由动量定理得：
-μmgt=m v_n-mn v₀
解得：$t=\frac{{（{3n-1}）v_0}}{4μg}$；
（3）第（n-1）号木块与木板相对静止时，它在整个运动过程中的速度最小，设此时第n号木块的速度为v，对系统，由动量守恒定律：m（ v₀+2 v₀+3 v₀+…+n v₀）=（2n-1）m v_n-1+mv
对第（n-1）号木块，由动量定理得：-μmg t′=m v_n-1-m（n-1）v₀
对第n号木块，由动量定理得：-μmg t′=mv-mn v₀．
由以上三式解得：v_n-1=$\frac{（n-1）（n+2）{v}_{0}}{4n}$．
答：
（1）所有木块与木板一起匀速运动的速度v_n是$\frac{（n+1）{v}_{0}}{4}$．
（2）从t=0到所有木块与木板共同匀速运动经历的时间t是$\frac{（3n-1）{v}_{0}}{4μg}$；
（3）第（n-1）号木块在整个运动过程中的最小速度 v_n-1是$\frac{（n-1）（n+2）{v}_{0}}{4n}$．

点评 本题的运动过程比较复杂，研究对象比较多，按程序法进行分析，分段运用动量守恒定律和动量定理列式处理．