Question

如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为＝30°，一条长为L的轻绳一端固定在圆锥体的顶点O，另一端连着一个质量为m的质点，质点分别以速率v₁＝和v₂＝绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动，求轻绳中的拉力．

Answer 1

答案：
解析：

答案：当v1＝时，拉力为1.03 mg；当v2＝时，拉力为2 mg． 　　思路解析：将重力mg和加速度a＝v2/r＝v2/Lsin分解到x轴和y轴上，如图所示．由牛顿第二定律可得： 　　x轴：T－mgcos＝masin　① 　　y轴：mgsin－N＝macos　② 　　得N＝mgsin－mv2cos/Lsin 　　显然，当线速度增大时，N会减小．设线速度为v0时，N＝0，此时轻绳与竖直方向的夹角仍为30°，有v0＝ 　　(1)当v1＝＜v0时，由①式得 　　T1＝mgcos＋mv2/L＝1.03 mg． 　　(2)当v2＝＞v0时，质点已离开锥面，仍绕轴线做匀速圆周运动．设轻绳与轴线间的夹角为α(α＞)，此时质点仅受重力mg和轻绳拉力T2的作用． 　　有水平方向：T2sinα＝mv22/Lsinα　③ 　　竖直方向：T2cosα－mg＝0　④ 　　联立③④得T2＝mg/cosα＝2 mg．

提示：

本题中，质点绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动时，随着线速度的增大，可能出现临界状态，即锥体对质点的支持力恰好为零的状态；继续增大线速度，质点将离开锥面，轻绳与竖直方向的夹角将大于30°，但仍绕轴在水平面内做匀速圆周运动．