火星与地球的半径之比为1∶2，质量之比为1∶9，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比．

经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已发现了许多双星系统．双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离．一般双星系统距离其他星体很远，可以当做孤立系统处理．现根据对某一双星系统的观测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距l，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．(1)试计算该双星系统的运动周期．(2)若实验上观察测得的运动周期为，且．为了解释二者的不同，目前有一种流行的理论认为在宇宙中可能有一种望远镜观测不到的物质，即暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响．试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．

已知地球半径约为，月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，估算月球到地心的距离．(结果只保留一位有效数字)

如图所示，在半径为r的均匀球中挖去一个半径为r/2的球形空穴，其表面与球面相切，在未挖空穴前球的质量为，在球心和空穴的中心连线上，距球心d处有一个质量为的质点，求剩余部分对质点的万有引力．

有一个名叫谷神的小行星(质量为)，它的轨道半径是地球的2.77倍，求它绕太阳一周需要多少年？

地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍(图)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现．哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星．哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球是哪一年？

哈雷彗星轨道示意图

一种通信卫星需要“静止”在地面上空的某一点，因此它的运行周期必须与地球自转周期相同．请你估算：通信卫星离地心的距离大约是月心离地心距离的几分之一？(用汉字回答）

月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？()

如图所示，飞船沿半径为R的圆周围绕着地球运动，其运行周期为T．如果飞船沿椭圆轨道运行，直至要下落返回地面，可在轨道的某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心O为焦点的椭圆轨道运动，轨道与地球表面相切于B点．求飞船由A点到B点的时间(图中是地球半径)．

如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且，过正作水平线EF，在EF上钉铁钉O，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围．(不计线与钉子碰撞时的能量损失)