（2011•安徽模拟）已知数列{a_n}满足

2an

an+2

an+1(n∈N*)，且a1=

1

1006

．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求通项a_n；
（Ⅱ）若bn=

2-2010an

an

，且cn=bn•(

1

2

)n(n∈N*)，求和T_n=c₁+c₂+…+c_n；
（Ⅲ）比较Tn与

5n

2n+1

的大小，并予以证明．

如图有三根针和套在一根针上的n（n∈N^*）个金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． 
1．每次只能移动1个金属片；                      
2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
现用a_n表示把n个金属片从中间的针移到右边的针上所至少需要移动的次数，请回答下列问题：
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）记b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N^*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和．例：

1≤i≤j≤2

b_ib_j=

b

2 1

+b₁b₂+

b

2 2

=

1

2

[（b₁+b₂）²+（

b

2 1

+

b

2 2

）]
（3）证明：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）

求和：若S=2+4+6+8+…+100，则S=．