已知函数f（x）=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx(x≥1)

，的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．
（1）求实数b，c的值；
（2）若P，Q是曲线y=f（x）上的两点，且△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，此三角形斜边的中点在y轴上，则对任意给定的正实数a，满足上述要求的三角形有几个？

设函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；
（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）在[

1

4

，4]的最大值为

5

4

，求a的值．