（2006•朝阳区二模）设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f（x+1）=

1

3

f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=g[

n

2

f(n)]，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）已知

lim

n∞

2n+3

3n-1

=0，设F（n）=S_n-3n，是否存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m＜F（n）＜M恒成立？若存在，分别求出m和M的集合，并求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．