(一)多面体例1 如图.三棱柱ABC-A1B1C1中.若E.F分别为AB.AC 的中点.平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1.V2的两部分.那么V1∶V2= . 解:设三棱柱的高为h.上下——青夏教育精英家教网—

(一)多面体例1 如图.三棱柱ABC-A1B1C1中.若E.F分别为AB.AC 的中点.平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1.V2的两部分.那么V1∶V2= . 解:设三棱柱的高为h.上下底的面积为S.体积为V.则V=V1+V2＝Sh. ∵E.F分别为AB.AC的中点. ∴S△AEF=S, V1=h(S+S+S)=Sh V2=Sh-V1=Sh. ∴V1∶V2=7∶5. 例2 一个长方体全面积是20cm2.所有棱长的和是24cm.求长方体的对角线长. 解:设长方体的长.宽.高.对角线长分别为xcm.ycm.zcm.lcm 依题意得: 由②2得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 ③ 由③-①得 x2+y2+z2=16 即l2=16 ∵l=4(cm). 例3 正四棱锥S-ABCD中.高SO＝2.两相邻侧面所成角为γ .tg,(1)求侧棱与底面所成的角.(2)求侧棱长.底面边长和斜高. 解作CF⊥SB于F.连结AF.由△CFB≌△ABF及AF⊥SB.故∠AFC是相邻侧面所成二面角的平面角.连结OF.则∠AFC＝γ.∠OFC＝.在Rt△OCF与Rt△OBF中.t g＝＝(其中△SBO为SB与底面所成的角.设为α). 故 sinα=,α=60° 在 Rt△SOB中.侧棱SB＝=4.OB＝SO·ctgα ＝2.故边长BC＝·OB=4 在Rt△SEB中.斜高SE＝＝2 例4 设正六棱锥的底面边长为1.侧棱长为.那么它的体积为( ) A.6 B.2 C. D.2 解:由已知可得正六棱锥的底面积S=6× 设正六棱锥的高为h.则h==2. ∴V=××2=. 应选C. 例5 如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形.侧面与底面所成的二面角都相等.且顶点S在底面的射影O在△ABC内.那么O是△ABC的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D .内心解:作OE⊥AB.OF⊥BC.OM⊥CA ∵∠SEO=∠SFO=∠SMO, ∴△SEO≌△SFO≌△SMO. ∴OE=OF=OM. ∴O为△ABC的内心.应选D. 例6 已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等.且AB＝AC＝ .BC＝2.则以BC为棱.以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是( ) A. B. C. D. 解如图因 AB＝AC＝.BC＝2又 △ABC≌△DBC≌△BDA 故 DB＝DC＝.DA＝2作DE⊥BC于E.由于△DBC中BD＝DC.所以E为BC中点又 △ABC中.AB＝AC.所以AE⊥BC于E所以 ∠DEA是二面D-BC-A的平面角在 △DEA中.DA＝2.DE＝EA＝＝用余弦定理得 cos∠DEA＝＝0 所以∠DEA＝应选C 例7 已知三棱锥A-BCD的体积是V.棱BC的长是a.面ABC 和面 DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是α.那么sinα= . 解:如图.作AO⊥面BCD于O.作OE⊥BC于E.连结AE. 由V=AO·S2. 得AO= 又S1=AE·BC.得AE= 由三垂线定理知.AE⊥BC. ∴∠AEO是二面角A-BC-D的平面角. 即∠AEO=α. ∴sinα=sin∠AEO=. 例8 将边长为α的正方形ABCD沿对角线AC折起.使得BD＝α.则三棱锥D-AB C的体积为( ) A. B. C. D. 解如图折起后的△DOB中.BD＝α.OD＝OB＝α 因 OD2+OB2＝DB2 故 ∠DOB＝90° 又 DO⊥AC.BO⊥AC 所以∠DOB是二面角D-AC-B的平面角.即面DAC⊥面BAC.从而DO⊥面ABC 所以VD-ABC＝·DO·S△ABC＝·α·α2＝α3 应选D. 例9 如图.在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD 中.当底面四边形ABCD满足条件时.有A1C⊥B1D1(注 :填上你认为正确的一种条件即可.不必考虑所有可能的情形). 解应填“AC⊥BD 或任何能推导这个条件的其它条件.例如.ABCD是正方形或菱形等. 因 A1A⊥底面ABCD.AC是A1C在底面ABCD的射影. 若 AC⊥BD.则根据三垂线定理有A1C⊥BD 又 B1D1∥BDA1C⊥B1D1 故应该填“AC⊥BD 例10 已知长方体ABCD-A′B′C′D′中.棱AA′=5.AB=12.那么直线B′C′和平面A′BCD′的距离是 . 解:如图 ∵B′C′∥BC.B′C′∥面A′C.BC面AC. ∴B′C′∥面A′C. ∴点B到平面A′BCD′的距离即直线B′C′到平面A′BCD′的距离. 作B′H⊥A′B于H.又CB⊥面A′ABB′.B′H面A′ABB′.B′H面A′B.所以B′H⊥CB.从而B′H⊥平面A′BCD′. ∵B′H·A′B=B′A′·B′B. ∴B′H= 即直线B′C′到平面A′BCD′的距离是. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

如图，三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M是侧棱BB′的中点，则二面角M-AC-B的大小为（　　）