练习册

  • 练习册
  • 试题
    集合 (1)集合元素有“四性 :确定性.互异性.无序性和任意性.即集合中元素应完全确定. 不能模棱两可.集合中元素互不相同.不能重复出现,集合中元素无序关系.例如{1.2. 3}与{2.1.3}表示同一集合,集合中元素可以是具体确定的事物.而不仅限于“数.点 .式.形 . (2)集合表示方法有三种:列举法.描述法和图示法. (3)元素与集合.集合与集合的关系:“∈ “ 用于表示元素与集合间关系.“ “＝ “ “ 用于表示集合与集合间关系. (4)集合运算有三种:交.并.补. 交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合.叫做A.B的交集.记作A∩B.即 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.叫做集合A.B的并集.记作A∪B .即 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集:已知全集I.集合A?I.由I中所有不属于A的元素组成的集合.叫做集合A在集合I中的补集.记作.即 ＝{x|x∈I.且xA} (5)例题赏析 例1 已知集合A＝{x.xy.lg(xy)}.B＝{0.|x|.y}且A＝B.求x. y的值. 解:由A＝B可知.必有lg(xy)＝0.即xy＝1.若xy＝y.则x＝1.于是x＝xy.与集合A中元 素互异性矛盾.故xy＝|x|.即x＝y＝-1 符合题意.此时.A＝B＝{1.-1.0}.∴x＝ y＝-1 说明:通过对“集合元素有`四性’ 的应用.强化学生对概念的理解.培养学生思维的全 面性.深刻性.使之具备应用集合元素性质解决问题的能力. 例2 设I＝{x|x是不大于20的质数}.且A∩＝{3.5}.?∩＝{7.19}.∩＝{2.17}.则A＝ .B＝ . 解:由题设知.I＝{2.3.5.7.11.13.17.19}.因为∩?＝{2.17 }.A∪B＝{3.5.7.11.13.19}.这些元素可分三种情况.属于集A而不属于集B,属于集B而不属于集A.余下的11.13既属于集A.又属于集B. 故A＝{3.5.11.13}.B＝{7.11.13.19} 注:本题可用韦恩图表示I.A.B之间的关系.其结果将更加明朗. 说明:通过对集合表示方法的训练.培养学生思维的灵活性.使之具备“数形结合 解决此类问题的能力. 例3 设A＝{x|x＝a2+1.a∈N}.B＝{y|y＝b2-6b+10.b∈N}. 求证:AB 证:∵A＝{x|x＝a2+1.a∈N}.B＝{y|y＝b2-6b+10.b∈N}＝{y|y＝(b-3)2 +1.b∈N} 又∵a,b∈N.∴b-3∈{-2.-1.0}∪N 对于任意一元素x∈A.则x∈B ∴AB 当b-3＝0时y＝(b-3)2+1＝1∈B.而1A ∴AB 说明:通过对集合与元素.集合与集合关系的训练.培养学生运算能力.使之具备根据条件寻求合理.简捷运算途径的能力. 例4 设A＝{x|＞0}.B＝{x|x2+px+q≤0}.若A∪ B＝{x|x＞-2}.A∩B＝{x|1＜x≤3}.求p.q的值. 解:将A化简.得A＝{x|-2＜x＜-1.或x＞1}.由A∪B＝{x|x＞-2}.A∩B＝{x|1＜ x≤1}.结合数轴.知B＝{x|-1≤x≤3}.由-1和3是方程x2+px+q＝0的两根.得p＝-2 q＝-3 说明:通过对数集的交.并.补运算的训练.使学生掌握化简集合.利用数轴表示集合并进行运算的方法. 2.映射与函数 (1)映射是一种特殊的对应.即“一对一 或“多对一 但不能是“一对多 . (2)从集合A到集合B的映射f:A→B中.A中任一元素都必须有象.但B中元素未必有原象. (3)函数是一种特殊的映射.要求f:A→B中.A.B都是非空数集.其中A为定义域.f(A)是值域. (4)函数的表示方法有三种:图像法.表格法和解析法. (5)函数的三要素:定义域.值域.对应法则. (6)函数的三特征:非空.数集.满射. (7)例题赏析: 例5 已知(x,y)在映射f下的象是(x2+y2,x2-y2).求点在 f下的原象. 解:由已知得.解得 所以所求的原象是,. 说明:通过本题加深对“映射 概念的理解.训练学生分析象与原象关系的能力.使之具备把映射与其它知识综合运用的能力. 例6 设f(x)是定义在R+上的函数.且满足f f()＝1.求f的值. 解:∵对任意x.y∈R+均有f成立 令x＝1,y＝1.得f ∴f(1)＝0 又令x＝2.y＝ 得f(2·)＝f(2)+f() ∴0＝f＝-1 ∴f+f＝-2 说明:通过“函数是一种特殊的映射 .训练学生思维的敏捷性和灵活性.使之具备抽象思维能力. 例7 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊.所有轧棍周长均为1600m m.若第K对轧辊 有缺陷.每滚动一周在带钢上压出一个疵点.在冷轧机输出的带钢上.疵点的间距为LK. 为了便于检修.请计算L1.L2.L3并填入下表(轧钢过程中.带钢宽度不变.且不考虑损耗). 轧辊序号K 1 2 3 4 疵点间距LK(mm) 1600 解:第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长.在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处 两疵点间带钢体积相等.因宽度不变.故 1600＝L3· 所以 L3＝1600/0.8＝2000(mm) 同理 L2＝L3/0.8＝2500(mm) L1＝L2/0.8＝3125(mm) 填表如下: 轧辊序号K 1 2 3 4 疵点间距LK(mm) 3125 2500 2000 1600 说明:通过函数表示方法.训练学生分析问题能力.使之具备用表格法表示函数的能力. 例8 已知函数f(x)＝x2.g(x)为一次函数.且一次项系数大于零.若f＝4x2-20x+25.求g(x)的表达式. 解:由g＝ax+b ∵f＝4x2-20x+25 ∴2＝4x2-20x+35.即 a2x2+2abx+b2＝4x2-20x+25 解得a＝2,b＝-5 故g 说明:通过本题.训练学生利用待定系数法.恒等式性质解题的能力.加深对函数三要素. 三特征的理解.使之具备求复合函数解析式.定义域的能力. 3.函数性质 (1)定义域:x的取值集合. (2)值域:y的取值集合. (3)增减性:对于给定区间上的函数f(x).对任意的x1.x2·x1＜x2f(x1)＜f( x2),f(x)在区间上是增函数,x1＜x2f(x1)＞f(x2).f(x)在区间上是减函数. (4)奇偶性:对于函数定义域内任意x.有f f＝-f(x) f(x )是奇函数. (5)周期性:若存在常数T.使对定义域内任意x都有f叫周期函数 .T叫f(x)的一个周期.合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期. (6)奇偶性与单调性 奇函数在对称区间上增减性相同. 偶函数在对称区间上增减性相反. (7)奇函数.偶函数定义域必关于原点对称.对于奇函数f有意义.则f＝0.既是奇函数又是偶函数.否则会期引起歧义. (8)例题赏析: 例9 求函数y＝的定义域. 解: -5＜x＜-2.且x≠-4 所以定义域为 说明:给定了函数的解析式.如果未指出函数的定义域.一般而言.函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围. 应考虑到: (1)分式 分母≠0, (2)偶次根式 被开方数≥0, (3)对数 真数＞0.底数＞0.底数≠1, (4)零指函数 底数≠0, (5)正切 y=tgx, x≠kπ+, 余切 y=ctgx, x≠kπ, (6)反正.余弦|x|≤1. 如果是实际问题或几何问题.要根据实际情况确定函数定义域,如圆面积公式S＝πR2的定义域是R＞0. 例10 求下列各函数的值域: (1)y＝, (2)y＝, (3)y＝, 的值域是(.).求函数g+的值域. 解:(1)y＝-1+ ∵≠0 ∴y≠-1 故函数y＝的值域为 (2)由函数关系式.得 ex＝.∵ex＞0.即＞0 解得y＞2或y＜-1.故函数的值域为 (3)由函数关系式变形.整理.得2yx2-4yx+3y-5＝0.当y＝0时.-5＝0矛盾.故y≠0 ∵x∈R ∴Δ＝(-4y)2-4·2y≥0.即0≤y≤5.故0＜y≤5.函数的值域为(0.5] (4)设t＝ ∵≤f(x)≤ ∴≤1-2f(x)≤即t∈［.］.且f(x)＝(1-t2).于是 g(x)＝-t2+t+＝-(t-1)2+1.t∈［.］ 当t＝时.gmin(x)＝ 当t＝时.gmax(x)＝ ∴≤g(x)≤.故函数g(x)的值域为［.］ 说明:求值域常用方法有: (1)用配方法求二次函数的值域,(2)根据反函数求二次函数的值域,(3)对于可化为二次函数型时.利用判别式法求值域.但要注意某些限制条件,(4)利用函数的单调性求函数的值域,(5)通过函数的图像和变量代换求出函数的值域. 本题通过求函数值域.训练学生的逻辑思维及运算能力.加深对反函数.二次函数及函数单调性等数学概念的理解.使之具备思维的多向性.深刻性和批判性等能力. 例11 已知f(x)＝x3,证明f(x)在R上是增函数. 证明:设x1.x2∈R且x1＜x2.则 f(x1)-f(x2)＝x13-x23＝(x1-x2)(x12+x22+x1x2) ＝(x1-x2)［(x1+x2)2+x22］ ∵x1＜x2 ∴(x1+x2)2+x22＞0,(否则x1＝x2＝0) 又x1-x2＜0 ∴(x1-x2)［(x1+x2)2+x22］＜0 即 f(x1)-f(x2)＜0.f(x1)＜f(x2) ∴f(x)＝x3在R上是增函数. 说明:通过单调性证明.训练学生运算能力.使之具备将f(x1)-f(x2)化为几个能确定符号的因式的积的能力. 注意:①单调性是与“区间 紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性,②单调性是函数在某一区间的“整体 性质.因此定义中的x1.x2具有任意性.不能用特殊值代替.若求单调区间则应求“极大 区间.③由于定义是充要性命题.因此单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推 . 例12 判断下列函数的奇偶性: =2x-()X; = +; =·; =lg(x+); = 解:(1)奇函数 ∪ f(-x)= =(-x) =(-x)() =(-x)( =f(x) 所以函数为偶函数 (3)由 得x＝1 故函数的定义域为{1}.它不是关于原点对称的实数集.故此函数既不是奇函数.又不是偶函数. (4)函数的定义域为R. f=lg(-x+)+lg(x+) =lg(-x+)(x+)=lg1=0 即 f 所以函数为奇数函数 (5)函数的定义域为R. f(-x)= 故f(x)是奇函数 注 研究函数奇偶性应注意: =-f(x)中x应是定义域内任意值, 的定义域应是关于原点对称取值的实数集.否则函数是非奇非偶函数, (3)奇函数图像关于原点对称.偶函数图像关于y轴对称. 例13 已知函数f(x)的最小正周期是8.且等式f.对一切实数 x成立.判断f(x)的奇偶性. 解:f］＝f［4+ 故f(x)是偶函数. 说明:通过函数的周期性.对称性推导其奇偶性.训练学生的逻辑思维能力.使之具备正确 的思维取向.提高能力层次. 例14 已知函数f(x)是奇函数.而且在在上是增函数还是减函数? 解:设x1.x2＜0且x1＜x2.则0＜(-x2)＜(-x1) ∵f上是减函数 ∴f(-x2)＞f(-x1)-- (1) 又∵f(x)是奇函数 ∴f(-x2)＝-f(x2).f(-x1)＝-f(x1)代入(1)式得 -f(x2)＞-f(x1) 从而 f(x2)＜f(x1) 由此可知:函数f上是减函数. 说明:通过应用奇偶性.单调性.训练学生分析问题能力使之具备转化条件解决问题的能力 . 4.二次函数在闭区间上最值问题 闭区间［α.β］上的函数f(x)＝ax2+bx+c.当-∈［α.β］ 时 .最值从f(-),f中比较得出.当-［α.β］时.最值从f中比较得出. 例15 求函数y＝3x2-12x+5当自变量x在下列范围内取值时的最值. -1≤x≤1 解:对称轴x＝2 (1)∵2∈［0.3］ ∴当x＝2时.ymin＝-7 x＝0时.ymax＝5 (2)∵2［-1.1］ ∴当x＝1时.ymin＝-4 当x＝-1时.ymax= 20 5.反函数 表示y是自变量x的函数.设它的定义域为A.值域为C.我们从式子y＝f(x) 中解出x.得到式子x＝φ(y).如果对于y在C中的任何一个值通过式子x＝φ(y).x在A中 都 有唯一确定的值和它对应.那么式子x＝φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x＝φ的反函数.记作x＝f-1＝f-1(y) 习惯上.一般用x表示自变量.y表示函数.为此对调式子x＝f-1(y)中的字母x.y. 把它改写成y＝f-1(x) (2)原函数与反函数的图像关于y＝x对称. (3)原函数与反函数在对应的区间上的增减性相同. (4)若函数的反函数是奇函数.则原函数也是奇函数. (5)单调函数必有反函数. (6)f-1＝x,x∈A.f［f-1(x)］＝x,x∈C. 6.幂函数:y＝xa.定义域是使xa有意义的实数.图像过(1.1)点.a＞0时.在第一象限内是增函数,a＜0时.在第一象限内是减函数. 例16 已知幂函数f(x)＝x为偶函数.且在 上是增函数.求f(x)的解析式. 解:∵f(x)＝x在上是增函数 ∴4-(m-1)2＞0 解之得:-1＜m＜3 又∵m∈Z ∴m＝0.1.2.代入得: f(x)＝x3,f(x)＝x4,f(x)＝x3 又∵f(x)为偶函数 ∴f(x)＝x4 说明:通过求幂函数的解析式.训练学生自觉运用幂函数的性质使之具备解决待定系数法确 定幂函数解析式的能力. 例17 函数y=a|y| 解:由于y=a|x|是偶函数.其图像关于y轴对称.故可先画y=ax的图像.然后再沿y轴翻折. 应选B. 说明:通过函数定义域及其奇偶性.判断值域.使学生具备从特殊到一般的辨证思维能力. 7.指数函数与对数函数 (1)对数:在指数式ab＝N中.则称b叫做以a为底N的对数.记作b＝logaN, 以10为底的对数称为常用对数.记作lgN.以e为底的对数称为自然对数.记作lnN. .对数运算法则(略). (3)若lgx＝a+b.其中a∈Z.b∈［0,1),则称a为x的常用对数的首数.b为x的常用对数的尾数.当x＝a×10n.1≤a＜10时.则lgx的首数为n. (4)对数恒等式 a＝N 对数换底公式 logaN＝logbN/logba (5)对数函数与指数函数性质 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax y＝logax 定义域 x∈R x∈R+ 值 域 y∈R+ y∈R 图 像 性 质 单调性 a＞1.R递增 0＜a＜1时.R递减 a＞1时.R+递增 0＜a＜1时.R+ 递减 特征点 (0.1) (1.0) 值 的分 布 x＜0 x＝0 x＞0 0＜x＜1 x＝1 x＞1 a＞1 0＜y＜1 y＝1 y＞1 a＞1 y＜0 y＝0 y＞0 0＜a＜1 y＞1 y＝1 0＜y＜1 0＜a＜1 y＞0 y＝0 y＜0 (6)例题赏析 例18 求函数y＝的定义域 解:要使函数有意义.必须且只需 ∴x＜-3或x≥2.且x≠-1- 故函数定义域为{x|x＜-3或x≥2.且x≠-1-} 例19设a＞0.a≠1.又b＝(a-a)求loga2(b+)n 解:∵b＝(a-a) ∴＝(a+a) ∴log(b+)n＝loga2(a)n ＝loga2a＝ 说明:通过本题.训练学生运算能力.使之具备正确应用对数.指数性质的能力. 例20 已知函数f(x)＝ (1)判断它的奇偶性. (2)求证它是单调递增函数. (3)求它的反函数. 解:(1):∵10x+10-x≠0 ∴定义域为R f(-x)＝ ＝-f(x) ∴f(x)为奇函数. (2):任取x1.x2∈R.且x1＜x2.则 f(x2)-f(x1)＝ ＝ 当x2＞x1时.10＞1 10＜1 ∴10-10＞0 又(10+10)·(10+10)＞0 ∴f(x2)＞f(x1) ∴f＝更容易些) (3)y＝去分母得 y·102x+y＝102x-1 (1-y)102x＝1+y 当y＝1时.x无解 当y≠1时.102x＝ 显然当＞0时.即-1＜y＜1时.x有解. 当 ≤0时.x无解 ∴当-1＜y＜1时.2x＝lg 即x＝lg［］ ∴反函数为:y＝lg 说明:此题f(x)的形式变化可使解题难易程度变化.本题以f(x)为载体全面地训练学生对函 数的性质的理解和运用.使之具备较强的运算能力. 例21 已知函数f(x)＝lg(x+)-lg 证明:的图像关于原点对称. 为单调函数. 证明:(1)∵x∈R f(-x)＝lg(-x+)-lg ＝lg ＝-［lg(x+)-lg ＝-f(x) ∴f图像关于原点对称. (2)设x1.x2∈R.且x1＜x2 ∵ ∴x2-x1＞ ∴x2+＞x1+ ∴f(x2)＞f(x1) ∴f(x)为单调递增函数. 说明:本题通过奇偶性.单调性证明.训练学生的运算能力.使之加深对函数性质理解.具备举一反三的能力. 8.指数方程与对数方程 (1)指数方程是一种超越方程.指数方程的解法大致分类有四种:(A)af(x)＝ag(x).其中a＞0且a≠1.利用指数函数的单调性化为代数方程:f形如a2x+b·ax+c＝0的指数方程.用换元法化为一元二次方程来解. (C)用对数知识.如af(x)＝bg(x)(a＞0且a≠1.b＞0且b≠1)两边取对数.从而求解x (D)用图像 法求近似解. (2)对数方程也是超越方程.对数方程的主要类型有:(A)基本型:logax＝b (B)同底数型:logaf(x)＝logbg:形如:log+blogax+c＝0的代换型.各类型方程解法相对固定.均能化为代数方程解之.但要注意验根.上述类型以外的对数方程可用图像法求近似解. (3)解对数方程时.需注意以下几点: (A)利用公式logaM+logaN=logaMN作恒等变形可能产生增根.例如.解方程lg=0时. (B)利用公式logaMk=klogaM作恒等变形可能失根.例如:解方程lg(x-1)2+lg(x-1)4+lg(x-1)6=12时. (1)两边消去对数符号可能产生增根.例如解方程logaf(x)=logag(x)时 (4)例题赏析 例22 解下列方程 (1)37x-1·125x＝210x (2)7·3x+1-5x+2＝3x+4- 5x+3 解:(1)37x-1·35x·210x＝210x.得312x-1＝1 ∴12x-1＝0.x＝是原方程的解 (2)7·3x+1-5x+2＝27·3x+1-5·5x+2 20·3x+1＝4·5x+23x+1＝5x+1 ()x+1＝1 ∴x+1＝0.即x＝-1是原方程的根. 例23 解下列方程 (1)2·72x-3-3·7x-2-5＝0 (2)x3lgx＝100x5 解:(1)令7x＝t.则2t2-21t-5×73＝0 t1＝35,t2＝-(舍) 由7x＝35得x＝1+log75是原方程的解 (2)两边取以10为底的对数.方程化为3lg2x-5lgx-2＝0.从而lgx＝2.-.解得 x＝100或x＝10.检验知x＝100.x＝10是原方程的解. 说明:通过例1.例2.训练学生解指.对数方程的基本能力和基础方法.使之具备解较简单 指对数方程的能力. 例24 解方程:log0.5xx2-14log16xx3+40log4x＝0 解:x＞0.当x≠1时.利用换底公式将原方程化为: ∴ ∴x＝4或x＝ 经检验4.都是原方程的根. 由于换底时.可能失根1.经检验x＝1是原方程的根. ∴x＝4.x＝1.x＝都是原方程的根. 说明:通过本题.训练学生寻找失根的能力.使之具备解复杂方程的能力. 9.指数不等式与对数不等式 指数不等式与对数不等式都是超越不等式.其解法与它们的方程解法有点类似 .解这样的不等式需要用到指数函数与对数函数的性质.特别是单调性.对其底数是否大于 1或小于1及定义域要特别重视. 例25 解下列不等式 (1)9-7-12＞0 (2)log0.3＜log0.3 (3)loga()+loga( (4)log4(3x-1)log≤ 解:(1) 9-7-12＞03-7-12＞0 x2-x-12＞0x＞4或x＜-3(舍) ∴原不等式的解为{x|x＞4} (2)原不等式化为: 解之得:3＜x＜5 ∴原不等式的解集为{x|3＜x＜5} (3)原不等式化为 x2loga()+4xloga() ＞5loga() 当a＞1时.loga()＜0.则x2+4x-5＞0解得x＜-5或x＞1 当0＜a＜1时.loga()＜0.则x2+4x-5＜0解得-5＜x＜1 ∴当a＞1时.原不等式解集为{x|x＜-5或x＞1} 当0＜a＜1时.原不等式解集为{x|-5＜x＜1} (4)利用对数的性质将原不等式化为 ［log4(3x-1)］2-2log4(3x-1)+ ＝0 令t＝log4(3x-1)得 4t2-8t+3≥0 解得:t≤或t≥ 当t≤时.0＜3x-1≤2.即1＜3x≤3 ∴0＜x≤1 当t≥时.3x-1≥4.即3x≥8+1 ∴x≥2 ∴原不等式的解集为{x|0＜x≤1或x≥2} 说明: 通过解指数不等式与对数不等式.训练学习应用函数性质能力.使之具备解指数不 等式与对数不等式的能力. 10.综合问题 (1)函数y＝f［(x)］可看成是函数y＝f(u)与u＝(x)复合而来的.或称y＝f［与u＝(x)的复合函数.在此时u＝的定义域的子集.例如 :y＝102x-1可以看作是函数y＝10x与u＝2x-1复合而成的. (2)y＝f［(x)］的定义域是指使得u＝(x)有意义且同时使y＝f(u)有意义的x的取值范围 .记此定义域为D.当x∈D时.u的值域为D′.当u在D′内变化时.此时y的取值集合称为 y＝f［(x)］的值域. (3)在复合函数y＝f［在区间(a,b)上是单调函数.复合函数y＝f(u) 在区间((a). (b))或((b).(a))上是单调函数.那么复合函数y＝f［上也一定是单调函数.它的增减性如下:当u＝的增减性相同时.y ＝f［(x)］是增函数.否则为减函数. (4)通过对函数图像的平移.对称等变换.可使函数形式变得更为简洁. 的图像:是将y＝f(x)图像左移a个单位. +b的图像:是将y＝f(x)图像上移b个单位. 的图像:是将y＝f(x)图像关于x轴对称而得到. 的图像:是将y＝f(x)图像关于y轴对称而得到. |图像:是将f(x)＜0的部分曲线关于x轴对称.同时将f(x)≥0的部分曲线保 持不变. 的图像:是将x≥0处的图像y＝f(x)保持不变.x≤0处的图像 由y＝f关于y轴对称而得到. 成立.则y＝f(x)图像关于x＝m对称.若f 图像关于x＝m对称. 与y＝f(m-x)的图像关于x＝m对称.函数y＝f的图像关于x＝m对称. (7)函数的最值问题与含参问题是两类重要题型.其覆盖面广.综合性强.对提高能力很有帮助. (8)例题赏析: 例26 求函数y＝log0.2(2x2-x-3)的定义域与值域并讨论其单调性 . 解:设2x2-x-3＝u.则函数可以看成是y＝log0.2u与u＝2x2-x-3的复合函数. ∵2x2-x-3＞0 ∴x＜-1或x＞ ∴函数定义域为{x|x＜-1或x＞} 当x＜-1或x＞时.u＝2x2-x-3∈ ∴y∈R.即值域为R 当x＜-1时u(x) y＝log0.2u ∴y＝log0.2u(x) 当x＞时u(x) y＝log0.2u ∴y＝log0.2 ∴y＝log0.2(2x2-x-3)的递增区间是.递减区间是(.+∞) 说明:讨论复合函数的单调性.值域等均不能离开定义域.通过本题训练.使学生具备深刻认识复合函数的能力. 例27 设a＞0.a≠1.f(x)＝loga(x+) 的奇偶性, (2)求函数的反函数f-1(x), ＝loga有实数解.求k的取值范围. 解 ∵x+＞x+|x|≥0 ∴f(x)定义域为R. 设u＝x+.则u∈值域为R. ＝loga(-x+) ＝loga(x+)-1 ＝-f(x) ∴f(x)是奇函数. (2)设y＝loga(x+).则 ay＝x+ ,a-y＝ -x ∴ay-a-y＝2x x＝(ay-a-y) ∴反函数f-1(x)＝(ax-a-x) (3)由对数性质知loga(x+ )＝loga ∴ ∴ 当k＝0时.②无解.从而原方程无解. 当k≠0时.又a＞0.由②得x＝代入①得. ＞- ∴＞0 ∴＞0 ∴k＞0 ∴当k＞0时.原方程有实数解. 说明:通过讨论复合函数的性质和方程的解.训练学生解题技能和运算能力.使之具备一定综合分析能力. 例28 方程1+有解 .求a的取值范围. 解:由题意知x＞0且x≠1且x＜2lga 整理化简原方程得:x2-2lgax+4＝0 ∵Δ≥0.∴4lg2a-16≥0 ∴lga≤-2或lga≥2 ∴0＜a≤ 或a≥100 又x1·x2＝4＞0.x＞0 ∴x1+x2＝2lga＞0 ∴a＞1 故a≥100.此时 x1.2＝lga± 显然 lga-＞0 lga+＜2lga.即0＜x＜2 lga成立.若lga-＝1则lga＝.a＝10.此时lga+＝4是原方程的根.这就是说a≥100时.方程必有解x合条件 :0＜x＜2lga.且x≠1. ∴方程有解时.a的取值范围是a≥100 说明:通过含参一元二次方程的讨论.训练学生对判别式及求根公式和韦达定理的综合运用 能力.使之具备正确审题.全面分析的能力. 例29 设奇函数f∪上单调递增.f(1)＝0.解不等式:f［x(x-)］＜0 解:∵奇函数f上递增 ∴f上单调递增 又f＝f(1)＝0 ∴当x∈＞0 当x∈时 f(x)＜0 ∴又x(x-)=(x-)2-≥-＞-1欲使f(x(x-))＜0成立.则必有 x·(x-)∈(0,1),即 0＜x(x-)＜1,解之得: ＜x＜0或＜x＜ 说明:通过解抽象函数不等式.训练学生的逻辑思维能力使之具备分析抽象函数性质的能力. 例30 对于k∈N.用Ik表示区间(2k-1.2k+1］.已知x∈Ik时.f2.求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值} 解:y＝f(x)图像就是将y＝x2向右平移2k个单位所得.其中k∈N 设y1＝f(x),y2＝ax.同集合Mk可知.若a∈M.则函数y1＝f(x)与y2＝ax图像有两个交点.即当x＝2k+1时.0＜y2≤1 ∴0＜a≤ ∴Mk＝{a|0＜a≤.k∈N＝.即Mk＝(0.) 说明:通过化简集合.训练学生图像变换.数形结合能力.使之具备用图像法分析方程根的 能力. 例31 设函数y＝f(x)定义在R上.当x＞0时.f(x)＞1.且对任意m.n∈R. 有f.当m≠n时.有f ＝1 为增函数 证明:(1)令m＝0.则对任意n∈R.有 f ∴f(0)＝1 (2)设x＜0则-x＞0且x+(-x)＝0 由］＝1 又 f［x+,f(-x)＞1 ∴f(x)＝∈(0.1) 故当x＜0时 f 当x＝0时 f＞1 即对任意x∈R.f(x)＞0成立. 设x1,x2∈R.且x1＜x2.则x2-x1＞0.x2＝x1+(x2-x1).f(x2-x? 1)＞1 f(x1)-f(x2)＝f(x1)-f［x1+(x2-x1)］＝f(x1)［1-f(x2-x1)］＜0 ∴f(x1)＜f(x2).f(x)为增函数. 说明:通过证明f(x)的单调性.训练学生讨论抽象函数f(x)性质的能力.使之具备一定的逻 辑思维能力. [同步达纲练习] 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    10、正整数集合Ak的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k的等差数列，则并集A17∪A59中元素有
    151
    个．

    查看答案和解析>>

    （2011•嘉定区三模）已知集合M是满足下列两个条件的函数f（x）的全体：①f（x）在定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为[
    a
    2
     ， 
    b
    2
    ]    ．则下列函数中，是集合M中的元素有
    （3）（4）
    （3）（4）
    （将所有符合条件的序号都填上）．
    （1）f（x）=x2；（2）f（x）=2x；（3）f（x）=log2x；（4）f(x)=
    1
    2
    tan
    π
    4
    x    ，x∈（-2，2）．

    查看答案和解析>>

    对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n=m+n；而当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n=m×n．例如4⊕6=4+6=10，3⊕7=3+7=10，3⊕4=3×4=12．在上述定义中，集合M={（a，b）|a⊕b=12，a，b∈N*}的元素有
    15
    15
    个．

    查看答案和解析>>

    设ω=－+i,A={x|x=ωk+ω－k,k∈Z},则集合A中的元素有

    A.1个                   B.2个               C.3个               D.4个

     

    查看答案和解析>>

    设ω=－+i,A={x|x=ωk+ω－k,k∈Z},则集合A中的元素有

    A.1个                                 B.2个                          C.3个                          D.4个

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案