17．已知四棱锥S--ABCD的底面ABCD是正方形.SA底面ABCD.点E是SC上任意一点. (Ⅰ)求证:平面EBD平面SAC, (Ⅱ)设SA=4.AB=2.求点A到平面SBD的距离, (Ⅲ)——青夏教育精英家教网—

17．已知四棱锥S--ABCD的底面ABCD是正方形.SA底面ABCD.点E是SC上任意一点. (Ⅰ)求证:平面EBD平面SAC, (Ⅱ)设SA=4.AB=2.求点A到平面SBD的距离, (Ⅲ)当的值为多少时.二面角B-SC-D的大小为120°. 解法一: 证明(Ⅰ):∵ABCD是正方形.∴BD⊥AC, ∵ SA底面ABCD.BDÌ面ABCD.∴SABD. ∵SAÇAC=A.∴BD^面SAC. 又∵BDÌ面EBD.∴平面EBD平面SAC----4分解知.BD^面SAC.又∵BDÌ面SBD.∴平面SBD平面SAC.设ACBD=O. 则平面SBD平面SAC=SO.过A作AF^SO交SO于点F,则AF^面SBD.所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离. ∵ABCD是正方形.AB=2.∴AO=. 又∵SA=4.△SAO是Rt△.∴SO=. ∵SO×AF=SA×AO.∴AF=.∴点A到平面SBD的距离为------9分解(Ⅲ):作BM⊥SC于M.连结DM. ∵SA底面ABCD.AB=AD.∴SB=SD. 又∵CB⊥AB.CD⊥AD.∴CB⊥SB.CD⊥SD.∴△SBC≌△SDC.∴DM⊥SC. ∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角.BM=DM.------------11分要使∠BMD=120°,只须. 即BM2=.而BD2=2AB2.∴BM2=AB2. ∵BM×SC=SB×BC.SC2=SB2+BC2.∴BM2×SC2=SB2×BC2.∴AB2(SB2+BC2)= SB2×BC2. ∵AB=BC.∴2SB2+2AB2=3SB2.∴SB2=2AB2. 又∵AB2=SB2-SA2.∴AB2=SA2.∴. 故当时.二面角B-SC-D的大小为120-----------14分解法二: 证明(Ⅰ)同解法一.--------------4分 ∵ABCD是正方形.SA底面ABCD.∴SA⊥AB.SA⊥AD.AB⊥AD.如图.建立直解坐标系A-xyz. .D.设平面SBD的法向量为.则⊥.⊥. ∴..而=.= ∴.∴x=2,y=2,即. 则点A到平面SBD的距离d==--------9分 (Ⅲ)设AB=a.SA=b.则A.C.S,SB=, 设平面SBC的法向量=(x1,y1,-1),平面SDC的法向量=(x2,y2,1) 则,而=,=,= ∴,∴x1=,y1=0.x2=0,y2= ∴=(,0,-1),=(0, ,1), --------------12分 ∴cos<,>==,要使二面角B-SC-D的大小为120.只需=-.即a=b,∴. 故当时.二面角B-SC-D的大小为120.--------14分【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E是SC上任意一点．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（Ⅲ）当

的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

查看答案和解析>>