17．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形.SA底面ABCD.点E是SC上的一点. (Ⅰ)求证:平面EBD平面SAC, (Ⅱ)设SA=4.AB=2.求点A到平面SBD的距离, (Ⅲ)当S——青夏教育精英家教网—

17．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形.SA底面ABCD.点E是SC上的一点. (Ⅰ)求证:平面EBD平面SAC, (Ⅱ)设SA=4.AB=2.求点A到平面SBD的距离, (Ⅲ)当SA=AB时.求二面角B-SC-D的大小. 解法一: 证明(Ⅰ):连结AC.∵ABCD是正方形.∴BD⊥AC, ∵ SA底面ABCD.BDÌ面ABCD.∴SABD.∵SAÇAC=A.∴BD^面SAC.又∵BDÌ面EBD.∴平面EBD平面SAC 解知.BD^面SAC.又∵BDÌ面SBD.∴平面SBD平面SAC. 设ACÇBD=O.则平面SBDÇ平面SAC=SO.过A作AF^SO交SO于点F,则AF^面SBD.所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离. ∵ABCD是正方形.AB=2.∴AO=.又∵SA=4.△SAO是Rt△.∴SO=. ∵SO×AF=SA×AO.∴AF=.∴点A到平面SBD的距离为解(Ⅲ):作BM⊥SC于M.连结DM.∵SA底面ABCD.AB=AD.∴SB=SD.又∵CB⊥AB.CD⊥AD.∴CB⊥SB.CD⊥SD.∴△SBC≌△SDC.∴DM⊥SC.∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角.BM=DM. 在正方形ABCD中.设AB=a.则AC=BD=a,∵AB=SA.∴SB=a.SC=a,∵BM×SC=SB×BC, ∴BM=a. ∴cos∠BMD=.∴二面角B-SC-D的大小为120. 解法二: 证明(Ⅰ)同解法一. ∵ABCD是正方形.SA底面ABCD.∴SA⊥AB.SA⊥AD.AB⊥AD.如图.建立直解坐标系A-xyz. .D.设平面SBD的法向量为.则⊥.⊥. ∴..而=.= ∴.∴x=2,y=2,即.则点A到平面SBD的距离d== (Ⅲ)设SA=AB=a.则A.C.S,设平面SBC的法向量=(x1,y1,-1),平面SDC的法向量=(x2,y2,1) 则,而=,=,= ∴,∴x1=-1,y1=0.x2=0,y2=1 ∴=,=, ∴cos<,>==,∴二面角B-SC-D的大小为120. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E是SC上任意一点．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（Ⅲ）当

的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

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