（2013•宜昌）如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y₁=ax（x-t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A，k=；
（2）随着三角板的滑动，当a=

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时：
①请你验证：抛物线y₁=ax（x-t）的顶点在函数y=-

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x2的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y₂-y₁|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y₂-y₁|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

（2009•梅州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x 轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x²从点O开始沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．设抛物线顶点M的横坐标为m．
（1）用含m的代数式表示点P的坐标；
（2）当m为何值时，线段PB最短？

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．大圆的圆心是该抛物线的顶点D，小圆的圆心是该抛物线与x轴正半轴的交点B，大圆与x轴相切于点E，小圆与y轴相切于点O，两圆外切于点F，大圆半径R是小圆半径r的4倍．
（1）求ac+b的值；
（2）在抛物线上找点P，使△PAO能与△EBF相似（用含r的代数式表示点P的坐标，并证明△PAO与△EBF相似）．

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=

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2x

的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴作垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．
（1）点E坐标是，点F坐标是（用含a的代数式表示点E的坐标，用含b的代数式表示点F的坐标）
（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否相似？若相似，请证明；若不相似，请简要说明理由．
（4）当点P在曲线y=

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2x

上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角，并求出此角的大小，同时证明你的结论．

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积．