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    6 锐角三角函数的简单应用 探索活动: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    精英家教网课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足．我们规定，比值
     
    叫做角α的正弦，比值
     
    叫做角α的余弦．这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：
     
    ，
     
    ．说明这些比值都是由
     
    唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数．

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    阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形ABC中，求证：
    b
    sinB
    =
    c
    sinC

    这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，精英家教网过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD和Rt△ACD中由正弦定义可完成证明．
    解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
    在Rt△ABD中，sinB=
    AD
    AB
    ，则AD=csinB
    Rt△ACD中，sinC=
    AD
    AC
    ，则AD=bsinC
    所以c sinB=b sinC，即
    b
    sinB
    =
    c
    sinC

    （1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　）
    A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想
    （2）用上述思想方法解答下面问题．
    在△ABC中，∠C=60°，AC=6，BC=8，求AB和△ABC的面积．
    （3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
    在锐角三角形ABC中，AC=10，AB=5
    		6
    ，∠C=60°，求∠B的度数．

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    小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长．（两个三角板分别是等腰直角三角形和含30°的直角三角形）
    若已知CD=2，求AC的长．
    请你先阅读并完成解法一，然后利用锐角三角函数的知识写出与解法一不同的解法．
    解法一：在Rt△ABC中，∵BD=CD=2 
    ∴由勾股定理，BC=
    		22+22
    =2
    		2

    在Rt△ABC中，设AB=x
    ∵∠BCA=30°，∴AC=2AB=2x
    由勾股定理，AB2+BC2=AC2，即x2+(2
    		2
    )2=(2x)2
    ∵x＞0，解得x=
    2
    		6
    3
    2
    		6
    3
    ．∴AC=
    4
    		6
    3
    4
    		6
    3
    ．
    解法二：

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    （1998•四川）一船在A处观测到西北方向有一座灯塔B，这只船沿正西方向以每小时25海里的速度航行1小时12分钟后到达C处，这时测得灯塔B在北偏东26°方向．求灯塔B到C处的距离（结果用含锐角三角函数的式子表示）．

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    根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α+cos2α=1．如果关于x的方程3x2sinα-4xcosα+2=0有实数根，那么锐角α的取值范围是
     
    ．

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