设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）一个各项均为正数的数列{a_n}满足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求{a_n}的通项公式．

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{a_n}满足f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N^*，s≠t，使得点（t，a_s）、（s，a_t）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a_n＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a₁=f（0），不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f(x)=

3x+a

x+b

图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（2）设点P（x，y）到直线y=x的距离d=

|x-y|

2

．在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A₁，A₂，P为函数f（x）图象上的另一点，其纵坐标y_P＞3，求点P到直线A₁A₂距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．若地方不够，可答在试卷的反面．

设函数f（x）的定义域为正实数集，且满足条件f（4）=1，对任意x₁，x₂属于正实数，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且当x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x+6）＜2，求x的取值范围．