如图，现有一块半径为2m，圆心角为90°的扇形铁皮AOB，欲从其中裁剪出一块内接五边形
ONPQR，使点P在AB弧上，点M，N分别在半径OA和OB上，四边形PMON是矩形，点Q在弧AP上，R点在线段AM上，四边形PQRM是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形PMON的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面积也达到最大．
（Ⅰ）设∠BOP=θ，当矩形PMON的面积最大时，求θ的值；
（Ⅱ）求按这种裁剪方法的原材料利用率．

（2013•嘉兴二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）设

AP

PB

=λ，当λ为何值时，二面角C-A′B′-P的大小为60°？

已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧

AB

上有两点P，C，其中

BC

=

AC

（如图）．
（1）若P为圆弧

BC

的中点，E在线段OA上运动，求|

OP

+

OE

|的最小值；
（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧

AB

上运动时，求

PE

•

PF

的最大值．

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过P(-

1

2

，

1

2

)且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．