题目列表(包括答案和解析)
已知整数数列
{an}满足：a1＝1，a2＝2，且2an－1＜an－1＋an+1＜2an＋1(n∈N+，n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为
{bn}，求b5＋b100的值．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝
，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若数列{an}满足a1＝
，an+1＝f(an)，bn＝
－1，n∈N*，证明数列{bn}是等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，证明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．
【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.
由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，
也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，
∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝
.…………………………………………4分
(2)an＋1＝f(an)＝
(n∈N*)，bn＝－1， ∴
＝
＝
＝
，
∴{bn}为等比数列，q＝.又∵a1＝，∴b1＝
－1＝，
bn＝b1qn－1＝
n－1＝n(n∈N*)．……………………………9分
(3)证明：∵anbn＝an
＝1－an＝1－
＝
，
∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝
＋
＋…＋<
＋
＋…＋
＝
＝1－<1(n∈N*)．
已知由正数组成的等比数列{an}中,公比q＝2,a1·a2·a3·…·a30＝245,则a1·a4·a7·…·a28等于( )
A.25 B.210 C.215 D.220
设M1(0，0)，M2(1，0)，以M1为圆心，| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2)，记作⊙M1； 以M2为圆心，| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3)，记作⊙M2；……；以Mn为圆心，| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1)，记作⊙Mn；……当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙Mn交于An，Bn．考察下列论断：
当n＝1时，| A1B1 |＝2；
当n＝2时，| A2B2 |＝
；
当n＝3时，| A3B3 |＝
；当n＝4时，| A4B4
|＝
；
……
由以上论断推测一个一般的结论：对于n∈N*，| AnBn |＝ ▲ ．
（22）已知｛an｝是由非负整数组成的数列，满足
a1＝0，a2＝3，an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…．
（Ⅰ）求a3；
（Ⅱ）证明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…；
（Ⅲ）求｛an｝的通项公式及其前n项和Sn．
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