12.已知△ABC的外接圆半径为1，且角A、B、C成等差数列，若角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，求a²+c²的取值范围.

解析：由A、B、C成等差数列，知B=60°.

由正弦定理有=2R,

有b=2RsinB=2×1×=,

即有b²=a²+c²-2arccosB

=a²+c²-2ac×=a²+c²-ac.

即a²+c²=b²+ac＞3.

且有a²+c²=b²+ac≤3+a²+c²≤6,即a²+c²的范围为(3，6］.

11.(2010四川成都外国语学校模拟，17)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8sin²-2cos2A=7.

(1)求角A的大小；

(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.

解析：(1)由B+C=π-A,sin=cos,

即4cos²-cos2A=,

2(1+cosA)-(2cos²A-1)=.

4cos²A-4cosA+1=0,cosA=,A=60°.

(2)cosA==,

即b²+c²-3=bc,即(b+c)²-3=3bc.

10.在△ABC中，若∠C=60°，则=__________________.

答案：1

解析：∵cosC=,

∴a²+b²=c²+ab，

∴==1.

9.△ABC中，已知BC=3，AB=10，AB边上的中线为7，则△ABC的面积等于___________.

答案：

解析：cosB=,sinB=.故S_△ABC=×10×3×=.

8.等腰三角形的两边长为9，14，则底角的余弦值为___________________.

答案：或

解析：当底边长为9，则cosθ=;当底边长为14时，则cosθ=.

7.给出下列四个命题，以下命题正确的是(　　 )

①若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形

②sinA=cosB，则△ABC是直角三角形

③若sin²A+sin²B+sin²C＜2,则△ABC是钝角三角形

④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC是等边三角形

A.①②　　　　　　 　　B.③④　　　　　　　　　 C.①④　　　　　　　 D.②③

答案：B

解析：①错.当A=30°，B=60°时，sin2A=sin2B,但△ABC不是等腰三角形.

②错.当A=120°，B=30°时，sinA=cosB，但△ABC不是直角三角形.

6.(2010广东惠州一模，5)已知△ABC中，||=3，||=4，且·=-6，则△ABC的面积是(　　 )

A.6　　　　　　　　　　 B.3　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　 D.+

答案：C

解析：因·=-||||cosC，故cosC=，sinC=，S_△ABC=||·||·

sinC=×3×4×=3.

5.(2010重庆万州区一模，3)已知A、B、C是三角形的三个顶点，²=·+·+

·，则△ABC为(　　 )

A.等腰三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.等腰直角三角形

C.直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.既非等腰三角形又非直角三角形

答案：C

解析：因c²=bc·cosA+ac·cosB-ab·cosC,故c²= c²=a²+b²,即△ABC为直角三角形.

4.在△ABC中，C=60°，a+b=2(+1),c=2,则A的度数(　　 )

A.45°　　　　　　　　　 B.75°　　　　　　　 C.45°或75°　　　　　 D.90°

答案：C

解析：由c²=a²+b²-2abcosC及a+b=2(+1)知a×b=,求出a,b后运用正弦定理即可.

3.在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是(　　 )

A.2　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.2或4　　　　　 D.或2

答案：D

解析：运用正弦定理及S_△=AB·AC·sinA求解，注意多解的情况.