12.(2010湖北重点中学模拟，21)平面直角坐标系中，O为原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足OC=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1，

(1)求点C的轨迹方程；

(2)设点C的轨迹与双曲线=1(a＞0,b＞0)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值.

(1)解析：设C(x，y)，因为=α+β，

则(x，y)=α(1，0)+β(0，-2)

∴∵α-2β=1,∴x+y=1.

即点C的轨迹方程为x+y=1.

(2)证明：由得：(b²-a²)x²+2a²x²-a²-a²b²=0.

由题意,得b²-a²≠0，设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂),

则：x₁+x₂=,

x₁x₂=-.

因为以MN为直径的圆过原点，=0，

即x₁x₂+y₁y₂=0,x₁x₂+(1-x₂)(1-x₂)

=1-(x₁+x₂)+2x₁x₂

=1+=0,

即b²-a²-2a²b²=0,∴=2为定值.

11.设抛物线y²=2px的准线l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意一点，PQ⊥l，Q为垂足，求QF与OP的交点M的轨迹方程.

解析：设抛物线上点P(2pt²，2pt)(t≠0)，直线OP的方程为：y=x.

又Q(-，2pt)，F(，0)，

∴直线QF的方程y=-2t(x-).它们的交点M(x，y)，

由方程组

由①×②得：y²=-2x(x-)，

∴交点M的轨迹方程y²=-2x(x-).

10.F₁、F₂为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从某一焦点引∠F₁QF₂的外角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是____________________.

答案：圆

解析：如右图，延长F₁P交F₂Q于F₁′，则

|OP|=|F₁′F₂|=|F₁′Q|+|F₂Q|)

=(|F₁Q|+|F₂Q|)

=×2a=a.

∴P点轨迹为圆.

9.已知定直线l上有三点A、B、C，AB=2，BC=5，AC=7，动圆O恒与l相切于点B，则过点A、C且都与⊙O相切的直线l₁、l₂的交点P的轨迹是_________________________.

答案：去掉两个顶点的双曲线

解析：由题设条件可得||PA|-|PC||=3，根据双曲线定义知点P的轨迹为去掉两个顶点的双曲线.

8.(2010北京西城区一模，12)点P(0，2)到圆C：(x+1)²+y²=1的圆心的距离为_____________，如果A是圆C上一个动点，=3,那么点B的轨迹方程为_______________________.

答案：　　 (x-2)²+(y-6)²=4

解析：由圆的方程圆心(c-1,0),则P到圆心的距离d=.

设A、B点的坐标分别为(x₀,y₀)、(x,y).

=(x-x₀,y-y₀),=(-x₀,2-y₀).

=3,即(x-x₀,y-y₀)=(-3x₀,6-3y₀).

∴

∵A在圆上，

∴(-+1)²+()²=1.

即(x-2)²+(y-6)²=4.

即为B点的轨迹方程.

7.点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和它到直线x=8的距离的比为，则动点M的轨迹方程为(　　 )

A.=1　　　　　　 　　　　　　　　　　B.=1

C.=1　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.3x²+4y²+8x-60=0

答案：D

解析：设M为(x，y)，则

∶|x-8|=1∶2.

整理有：3x²+4y²+8x-60=0.

6.设A₁、A₂是椭圆=1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点P的轨迹方程为(　　 )

A.=1　　　　　　　　　　　　　　　　 B.=1

C.=1　　　　　　　　　　　　　　　　 D.=1

答案：C

解析：设P₁、P₂两点的横坐标为x=3cosθ，又A₁(-3,0),A₂(3,0),P₁(3cosθ,2sinθ),?P₂(3cosθ,-2sinθ),故直线A₁P₁和A₂P₂方程分别为y=(x+3),y=(x-3).设交点P(x，y)，则y²=(x²-9)，即=1.

5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　 )

A.2x+y+1=0　　　　　　　　　　　　 　　　　　B.2x-y-5=0

C.2x-y-1=0　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.2x-y+5=0

答案：D

解析：设Q(x，y)，则P点(-x-2，-y+4)，又点P在直线2x-y+3=0上，故2(-x-2)-(-y+4)+3=0，即：2x-y+5=0.

4.一动圆与圆x²+y²=1外切，而与圆x²+y²-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是(　　 )

A.双曲线的一支　　　　　　　　　　　　　　　 B.椭圆

C.抛物线　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.圆

答案：A

解析：设动圆圆心为P(x，y)，半径为r，又圆(x-3)²+y²=1的圆心为F(3,0).故?|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知P点轨迹是双曲线的右支.

3.下列命题中，一定正确的是(　　 )

A.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆

B.到定点F(-c，0)和到定直线x=-的距离之比为(a＞c＞0)的点的轨迹是椭圆的左半部分

C.到定直线x=-和到定点F(-c，0)的距离之比为(a＞c＞0)的点的轨迹是椭圆

D.平面上到两定点的距离之比等于常数(不等于1)的点的轨迹是圆

答案：D

解析：对照椭圆定义可知A、B、C都不对，故知选D.