6.(2010浙江联考，7)一动圆圆心在抛物线x²=4y上，过点(0，1)且恒与定直线l相切，则直线l的方程为(　　 )

A.x=1　　　　　　　　　　 B.x=　　　　　　　 C.y=-1　　　　　　　　　 D.y=-

答案：C

解析：根据抛物线定义，圆心到焦点(0,1)的距离与到准线的距离相等，故l为准线y=-1.

5.(2010江苏南通九校模拟，9)已知点P(m,3)是抛物线y=x²+4x+n上距点?A(-2,0)最近一点，则m+n等于(　　 )

A.1　　　　　　　　　　　 B.3　　　　　　　　　 C.5　　　　　　　　　　　 D.7

答案：C

解析：由已知得P为抛物线的顶点(-2，3)，故3=(-2)²+4×(-2)+n,n=7,m+n=?-2+7=5.

4.(2010湖北黄冈一模，11)过抛物线y²=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)两点，若x₁+x₂=3p，则|PQ|等于(　　 )

A.4p　　　　　　　　　　 B.5p　　　　　　　　　 C.6p　　　　　　　　　　 D.8p

答案：A

解析：|PQ|=|PF|+|FQ|=x₁++x₂+=x₁+x₂+p.又x₁+x₂=3p,故|PQ|=4p.

3.(2010中科大附中模拟，7)已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点(m,-2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　 )

A.4　　　　　　　　　　　 B.-2　　　　　　　　 C.4或-4　　　　　　　　　 D.2或-2

答案：C

解析：设抛物线方程为x²=-2py,(p>0),则-(-2)=4,p=4,故抛物线方程为x²=-8y,m²=-8×(-2),m=±4.

2.(2010江苏苏州一模，5)抛物线y=x²的焦点坐标是(　　 )

A.(0，)　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(，0)

C.(1，0)　　　 　　　　　　　　　　　　　　D.(0，1)

答案：D

解析：y=x²x²=4y,其焦点为(0，1).

1.(2010江苏南通九校模拟，2)抛物线y=ax²的准线方程是y=1,则a的值为(　　 )

A.　　　　　　　　　　 B.-　　　　　　　 C.4　　　　　　　　　　 D.-4

答案：B

解析：y=ax²x²=y,又准线方程为y=1,故-=1,a=-.

14.已知函数f(x)=(-1)²+(-1)²的定义域为［m,n)且1≤m<n≤2.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)证明：对任意x₁、x₂∈［m,n］,不等式?|f(x₁)-f(x₂)|<1恒成立.

(1)解析：解法一：∵f(x)=(-1)²+?(-1)²=+2,

∴f′(x)=·(x⁴-m²n²-mx³+m²nx)=(x²-mx+mn)(x+)

(x-).

∵1≤m≤x<n≤2,∴>0,x²-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+>0.

令f′(x)=0,得x=，

①当x∈［m,］时，f′(x)<0;

②当x∈［，n］时，f′(x)>0.

∴f(x)在［m,］内为减函数，在［，n)为内增函数.

解法二：由题设可得

f(x)=(-1)²-+1.

令t=.

∵1≤m<n≤2,且x∈［m,n］,

∴t=≥2,>2.

令t′==0,得x=.

当x∈［m,］,t′<0;当x∈(,n)时，t′>0.∴t=在［m,］内是减函数，在［，n］内是增函数.∵函数y=(t-1)²-+1在［1，+∞］上是增函数，∴函数f(x)在［m, ］内是减函数，在［，n］内是增函数.

(2)证明：由(1)可知，f(x)在［m,n］上的最小值为f()=2(-1)²,最大值为f(m)=(-1)².

对任意x₁、x₂∈［m,n］,|f(x₁)-f(x₂)|≤(-1)²-2(-1)²=()²-4·+4-1.令u=,h(u)=u⁴-4u²+4u-1.

∵1≤m<n≤2,∴1<≤2,即1<u≤.∵h′(u)=4u³-8u+4=4(u-1)(u-)(u+)>0,

∴h(u)在(1,)上是增函数.∴h(u)≤h()=4-8+4-1=4-5<1.

∴不等式|f(x₁)-f(x₂)|<1恒成立.

13.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F(x)=［f(x)］²在［b,a］上的单调性并证明你的结论.

解析：设b≤x₁<x₂≤a,则

-b≥-x₁>-x₂≥-a.

∵f(x)在［-a,-b］上是减函数,∴0<f(-b)≤f(-x₁)<f(-x₂)≤f(-a),∵f(x)是奇函数,∴0<-f(x₁)<-f(x₂)，

则f(x₂)<f(x₁)<0,［f(x₁)］²<［f(x₂)］²,即F(x₁)<F(x₂).

∴F(x)在［b,a］上为增函数.

12.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为［0，1］的函数f(x)同时满足：

①对于任意的x∈［0，1］，总有f(x)≥0;

②f(1)=1;

③若x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1,

则有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂).

(1)求f(0)的值；

(2)求f(x)的最大值.

解析：(1)对于条件③，令x₁=x₂=0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)=0.

(2)设0≤x₁<x₂≤1,则x₂-x₁∈(0,1)，

∴f(x₂)-f(x₁)=f［(x₂-x₁)+x₁］-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)≥0.

即f(x₂)≥f(x₁),故f(x)在［0，1］上是单调递增，从而f(x)的最大值是f(1)=1.

11.设函数f(x)=x+(a>0).

(1)求函数在(0，+∞)上的单调区间，并证明之；

(2)若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a的取值范围.

解析：(1)f(x)在(0,+∞)上的增区间为［,+∞］，减区间为(0，).

证明：∵f′(x)=1-,当x∈［,+∞］时，

∴f′(x)>0,当x∈(0，)时，f′(x)<0.

即f(x)在［+∞］上单调递增，在(0，)上单调递减.(或者用定义证)

(2)［a-2,+∞］为［，+∞］的子区间，所以a-2≥a--2≥0(+1)( -2)≥0-2≥0a≥4.