3．函数的一个递增区间是(　　 )

A．　　　 B．　 　　C．　　　　 D．

2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是(　　 )

A．米/秒　　　　 B．米/秒　　　　

C．米/秒　　　　 D．米/秒

1．计算　　　　　　　　　　 (　　　　 )

A、1　　　　　　 B、-1　　　　　　 C、i　　 　　　　D、-i

数 学(理)

(考试时间：120分钟　　 满分：150分)

第I卷

14.(2010江苏南京一模，22)已知直线x+2y+m=0(m∈R)与抛物线C：y²=x相交于不同的两点A，B，

(1)求实数m的取值范围；

(2)在抛物线C上是否存在一个定点P，对(1)中任意的m的值，都有直线PA与PB互为相反数？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

解析：(1)∵抛物线与直线有两个不同的交点，

∵有两个不同的解，

即方程y²+2y+m=0有两个不同的解，

∴Δ=4-4m>0,即m<1.

(2)设A(y₁²,y₁),(y₂²,y₂),P(y₀²,y₀),

由k_AB=,得y₁+y₂=-2,

k_PA=,

k_PB=，

假设在抛物线上存在定点P使得直线PA与PB的斜率互为相反数，即：,

即：2y₀=-(y₁+y₂)=2,得y₀=1.

∴存在定点P(1，1)使得直线PA与PB的斜率互为相反数.

13.已知点P(2,1)在双曲线=1，且它和双曲线一个焦点F的距离是1，

(1)求双曲线的方程；

(2)过点F的直线l，交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|不超过4，求l的倾斜角范围.

解析：(1)设焦点F(c,0)，由题意得

(-c)²+1=1,∴c=,

则点F的坐标为(,0)，∴a²+b²=2.　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　①

又∵P(,1)在双曲线上，

∴=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得a²=1或a²=4(舍去)，

∴b²=1.

从而双曲线方程为x²-y²=1.

(2)①当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-)代入双曲线方程得：

(1-k²)x²+2k²x-2k²-1=0.

|AB|²=(1+k²)［(x₁+x₂)²-4x₁x₂］=≤4².

即-2≤≤2,

解得k²≤或k²≥3.

∴-≤k≤或k≤-或k≥.

∴0≤α≤或≤α<,

<α≤或≤α<π.

②当直线l的斜率不存在时,容易验证也满足题意.此时倾斜角为.

∴l的倾斜角的范围是［0,］∪［,］∪［,π］.

12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0),B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

(1)求证：·=·；

(2)若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.

解析：(1)l:y=-(x-c),

∴P().

由||、||、||成等比数列得A(,0),

∴=(0,-), =(,), =(-,).

∴·=·.

(2)

∴b²x²-(x-c)²=a²b².

即(b²-)x²+2cx-(+a²b²)=0,

∴Δ>0恒成立.

∴x₁·x₂=<0.

∴b⁴>a⁴,即b²>a².

∴c²-a²>a²e>.

11.已知椭圆C:=1(a>b>0),直线l₁:=1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l₂被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程.

解析：由l₁被C截得的弦长为2,得

a²+b²=8,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

设l₂：y=(x-c)，代入C的方程化简得

(b²+3a²)x²-6a²cx+a²(3c²-b²)=0,

∴x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴|x₁-x₂|=,

由弦长公式得,

即a²=3b²,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

联立①②得a²=6,b²=2.

故C的方程为=1.

10.如果实数b不论取何值，直线y=kx+b与双曲线x²-2y²=1总有公共点,那么k的取值范围是_____________.

答案：-<k<

解析：将y=kx+b代入x²-2y²=1,得(1-2k²)x²-4kbx-2b²-1=0.(*)

当1-2k²=0即k=±时，4kbx+2b²+1=0不能使任意b∈R都有解.

∴1-2k²≠0.

∵方程(*)对b∈R恒有解，∴Δ≥0，

即16k²b²+4(1-2k²)(2b²-1)≥0恒成立，

即8k²≤8b²+4恒成立，

∴8k²≤4,∴k²≤.

又k²≠，∴k²<,∴-<k<.

实际上，画个图，可推出答案.

9.直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点，则m的取值范围是_________.

答案：［1，5)

解析：由焦点在x轴上，故0<m<5,又数形结合知m≥1，故1≤m<5.