13.(2010江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45°的直线l过点A(1，-2)和点B，其中B在第一象限，且?|AB|=3.

(1)求点B的坐标；

(2)若直线l与双曲线C:-y²=1(a>0)相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为(4，1)，求实数a的值.

解：(1)直线AB方程为y=x-3,设点B(x,y)，

由及x>0,y>0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为(4，1).

(2)由得

(-1)x²+6x-10=0.

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),则x₁+x₂==4,得a=2,此时，Δ>0,∴a=2.

12.已知△P₁OP₂的面积为，P为线段P₁P₂的一个三等分点，求以直线OP₁、OP₂为渐近线且过点P而离心率为的双曲线方程.

解析：以O为原点,∠P₁OP₂的角平分线为x轴建立如右图所示的直角坐标系,设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由e²==1+()²=()²得.

∴两渐近线OP₁、OP₂方程分别为y=x和y=-x，设点P₁(x₁,x₁)，点P₂(x₂,-x₂)(x₁＞0,x₂＞0),则点P分所成的比λ==2.得P点坐标为(),即(),又点P在双曲线=1上.

所以=1,

即(x₁+2x₂)²-(x₁-2x₂)²=9a².

8x₁x₂=9a².　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又|OP₁|=x₁,

|OP₂|=x₂,

sinP₁OP₂=，

∴=|OP₁|·|OP₂|·sinP₁OP₂=·x₁x₂·=，

即x₁x₂=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得a²=4,∴b²=9,

故双曲线方程为=1.

11.若双曲线=1(a>0,b>0)的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率e的取值范围.

解析：如右图，设点M(x₀,y₀)在双曲线右支上，依题意，点M到右焦点F₂的距离等于它到左准线的距离|MN|，即

|MF₂|=|MN|.

∵=e,∴=e,=e.

∴x₀=.

∵x₀≥a,∴≥a.

∵≥1,e＞1,∴e²-e>0.

∴1+e≥e²-e.∴1-≤e≤1+.

但e>1,∴1<e≤1+.

10.双曲线-y²=1(n>1)的两焦点为F₁、F₂，P在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2,则△PF₁F₂的面积为_______________.

答案：1

解析：不妨设|PF₁|>|PF₂|,则|PF₁|-|PF₂|=2，故|PF₁|=,|PF₂|=,又|F₁F₂|²=4(n+1)=|PF₁|²+|PF₂|²，∴△PF₁F₂为Rt△.故=|PF₁|·|PF₂|=1.

9.(2010湖北黄冈一模，15)若双曲线=1的一条准线恰为圆x²+y²+2x=0的一条切线，则k等于_________________.

答案：48

解析：因圆方程为(x+1)²+y²=1,故-=-2,即=2,k=48.

8.已知椭圆=1与双曲线=1(m>0,n>0)具有相同的焦点F₁、F₂，设两曲线的一个交点为Q，∠QF₁F₂=90°，则双曲线的离心率为______________.

答案：

解析：∵a²=25,b²=16,∴c==3.

又|QF₁|+|QF₂|=2a=10,|QF₂|-|QF₁|=2m,

∴|QF₂|=5+m,|QF₁|=5-m.

又|QF₂|²=|QF₁|²+|F₁F₂|²，

即(5+m)²=(5-m)²+6²m=,

∴e==.

7.(2010江苏南通九校模拟，10)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为(　　 )

A.30°　　　　　　　　　　 B.45°　　　　　　 C.60°　　　　　　　　　 D.90°

答案：D

解析：A(),S_△OAF=··c=a=b,故两条渐近线为y=±x,夹角为90°.

6.(2010湖北重点中学模拟,11)已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F₁、F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个交点，若=e,则e的值为(　　 )

A.　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　 D.

答案：A

解析：设P(x₀,y₀),则ex₀+a=e(x₀+3c)e=.

5.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F₁、F₂为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e₁、e₂、e₃,则(　　 )

A.e₁>e₂>e₃ B.e₁<e₂<e₃

C.e₁=e₃<e₂D.e₁=e₃>e₂

答案：D

解析：e₁=+1,

对于②，设正方形边长为2，则|MF₂|=，|MF₁|=1，|F₁F₂|=2,

∴e₂=;

对于③设|MF₁|=1,则|MF₂|=,?|F₁F₂|=2,

∴e₃=+1.

又易知+1>,故e₁=e₃>e₂.

4.设离心率为e的双曲线C：=1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C在左、右两支都相交的充要条件是(　　 )

A.k²-e²>1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.k²-e²<1

C.e²-k²>1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.e²-k²<1

答案：C

解析：双曲线渐近线的斜率为±，直线l与双曲线左、右两支都相交，则-<k<，即k²<=e²-1，即e²-k²>1.