5.已知A(-1,0),B(1,0),点C(x,y)满足=,则|AC|+|BC|是(　　 )

A.6　　　　　　　　　　　 B.4　　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　 D.不能确定

答案：B

解析：化简整理等式,会得到方程为椭圆方程,根据第一定义知|AC|+|BC|=2a=4;由圆锥圆线的第二定义知,动点到定点与到定直线的距离之比为e(e>1为双曲线,e<1为椭圆,e=1为抛物线).由=知动点P(x,y)到(1,0)与到定直线x=4的距离之比为,动点P的轨迹为椭圆.但此题需要验证B点为椭圆的另一个焦点,知c=1,e=,∴a=2.∴|AC|+|BC|=4.

4.设椭圆=1(m>0,且m≠2)的焦点为F₁、F₂，CD为过焦点F₁的弦，则△CDF₂的周长是(　　 )

A.2　　　　　　　　　 B.4　　　　　　 C.2　　　　　 D.4

答案：D

解析：∵m²+4>4m,故a²=m²+4,△CDF₂的周长为CD+CF₂+DF₂=CF₁+CF₂+DF₁+DF₂=4a=

4.

3.(2010湖南十校联考，9)椭圆ax²+by²=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则ab等于(　　 )

A.　　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

答案：A

解析：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点P(x₀,y₀),则,又=-1,,故.

2.(2010江苏宿迁二模，9)设F₁、F₂为椭圆y²=1的两个焦点，P在椭圆上，当△F₁PF₂面积为1时，·的值为(　　 )

A.0　　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　　 D.

答案：A

解析：不妨设P(x₀,y₀)在第一象限，则|F₁F₂|·y₀=1又c=,故y₀=,x₀=.又F₁(-，0)，F₂(，0)，故=(--，-)，=(-,-),∴·=(+)(-)+?(-)²=-3+=0.

1.已知方程+1=0表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　 )

A.(-，)　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(，3)

C.(-∞,-1)∪(3,+∞)　　　　　　　　　　　　　 D.(-1,-)∪(,3)

答案：D

解析：方程为=1表示在y轴上的椭圆，故-1<k<-或<k<3.

14.是否存在常数c，使得不等式≤c≤对任意正实数x,y恒成立？证明你的结论.

解析：存在常数c=.

证明：令

故有=≤-=,

同理可证≥.

13.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：

(1)仓库面积S的最大允许值是多少？

(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

解析：(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则S=xy，由题意得40x+2×45y+20xy=3 200,应用二元均值不等式，得3 200≥2+20xy,即S+6≤160,而(+16)(-10)≤0.

∴≤10S≤100.

因此S的最大允许值是100米².

(2)当

即x=15米，即铁栅的长为15米.

12.设a、b、c∈R⁺,求证：++≥(a+b+c).

证明：∵a²+b²≥2ab,∴2(a²+b²)≥(a+b)² ①

于是≥|a+b|=(a+b).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

同理：≥(b+c), ≥(c+a).　　　　　　　　　　　　 　　　　③

①+②+③式相加得：++≥(a+b+c).

11.(1)求函数y=x+(x＜0)的最大值；

(2)求函数y=+x(x＞3)的最小值.

解析：(1)x＜0,

∴y=x+=-［(-x)+］≤-2=-.

当且仅当x=-时，取等号.∴y_max=-.

(2)∵x＞3,

∴y=+x=+(x-3)+3≥5.

当且仅当x-3=,即x=4时，取等号.

∴y_min=5.

10.已知双曲线(x-h)(y-k)=a(a≠0)的水平渐近线为y=k,垂直渐近线为x=h，双曲线中心为(h,k)，若双曲线y=上的点到它的水平渐近线、垂直渐近线、中心的距离分别为d₁,d₂,d₃，则d₁+d₂+d₃的最小值为___________________.

答案：2+

解析：设点P为(x₀,y₀)，易知水平渐近线为x=1时，垂直渐近线为y=1，中心为(1，1)，

故d₁=|y₀-1|,d₂=|x₀-1|,d₃=,

∴d₁+d₂+d₃=||+|x₀-1|+≥2+.等号当且仅当||=|x₀-1|即x₀=0或x₀=2时成立.